Интегрирование по частям в определенном интеграле

Замена переменной в определенном интеграле

Если функция непрерывна в промежутке и функция непрерывна вместе со своей производной в промежутке , причем , и при изменении в промежутке , значения не выходят за пределы промежутка непрерывности функции , то

.

Пример 2.3.1. Вычислить интеграл .

Решение. Данный интеграл легко приводится к интегралу вида , поэтому применим подстановку , . Определим новый промежуток интегрирования: если , то и ; если , то и , следовательно,

.

Пример 2.3.2. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку , , , . Если , то ; если , то , следовательно,

.

Пример 2.3.3. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку , , или . Если , то ; если , то , следовательно,

.

Если функции и непрерывны вместе со своими производными и в промежутке , то имеет место следующая формула интегрирования по частям:

.

Пример 2.4.1. Вычислить интеграл .

Решение. Полагая , , имеем , , следовательно,

.

Пример 2.4.2. Вычислить интеграл .

Решение. Полагая , , имеем , , следовательно,

.

Пример 2.4.3. Вычислить интеграл .

Решение. Полагая , , имеем , , следовательно,

.

Интеграл вычисляем методом интегрирования по частям. Пусть , , тогда , и . Окончательно получим

.

Дата добавления: 2014-11-16; Просмотров: 378; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!