Найдите модуль и аргумент комплексного числа

.

Решение. Формула извлечения корня n -ой степени из числа z имеет вид:

, где .

Найдём модуль r и аргумент φ подкоренного выражения

.

Так как и , то

.

Тогда .

Отсюда следует, что , .

Применим формулу извлечения корня:

, .

Получаем пять различных значений корня 5-ой степени. Чтобы построить на комплексной плоскости все числа , , , , , достаточно знать аргумент одного числа, например, при k = 0, . Затем в круг радиуса с центром в начале координат впишем правильный пятиугольник так, чтобы одна вершина совпала с точкой . Остальные вершины пятиугольника будут соответствовать последовательно точкам , , , (рис. 1).

Рис. 1

Задача 3. Найти множество D точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию

.

Решение. Найдём действительную часть переменной :

.

Множество D есть множество точек плоскости с координатами , удовлетворяющими условию . После преобразования получим:

, или .

Таким образом, множество D есть внутренность круга радиуса с центром в точке (рис. 2).

Рис. 2

Задача 4. Выделить действительную и мнимую части функции комплексного переменного .

Решение. Воспользуемся формулой .

Для заданной функции получим:

.

Теперь подставим воспользуемся формулой Эйлера:

.

Следовательно, , .

Задача 5. Найти все решения уравнения .

Решение. Известно, что , .

Уравнение принимает вид: . После приведения к общему знаменателю имеем . Получили квадратное уравнение относительно . Решениями этого уравнения являются числа: , . Логарифмируя полученные равенства и применяя формулу , найдём бесконечное множество решений данного уравнения:

, ;

, .

Проверка: Подставим найденные решения в уравнение:

,

.

Задача 6. Найти угол поворота α и коэффициент растяжения k в точке при отображении .

Решение. Из геометрического смысла производной функции комплексного переменного известно, что , . В нашей задаче . Отсюда . Следовательно, коэффициент растяжения равен:

,

а угол поворота равен:

.

Задача 7. Восстановить аналитическую функцию , если , .

Решение. Для нахождения функции воспользуемся условиями Коши − Римана, достаточными условиями аналитичности функции комплексного переменного:

, .

Найдем частные производные функции . Имеем , .

Подставляя эти производные в условия Коши – Римана, получим систему уравнений для нахождения функции

,

Проинтегрируем первое из равенств системы по переменной :

.

Здесь мы учли, что при интегрировании частной производной по переменной х постоянная интегрирования может зависеть от второй переменной у. Неизвестную функцию С (у) найдём, используя второе равенство из (1):

, C (y) = C.

Таким образом, u (x, y) = −cos x sh y − 2 xy + C. Тогда

= i (sin x ch y + i cos x sh y) .

Полагая и учитывая, что по условию, получаем значение . Окончательно .

Задача 8. Вычислить , .

Решение. Контур интегрирования состоит из полуокружности и отрезка (рис. 3).

Рис. 3

Выбираем положительный обход контура (при обходе контура область остаётся слева). Схематично . Рассмотрим оба интеграла отдельно:

a)

.

b)

.

Следовательно, .

Задача 9. Вычислить , где С:

а) ; б) ; в) .

Решение. Здесь удобно воспользоваться интегральной формулой Коши и её следствием:

, ,

где функция f (z) является аналитической в области D, ограниченной кусочно-гладким контуром С и на самом контуре, а точка лежит внутри области, ограниченной контуром С.

а)

б) .

в) .

Внутри области , ограниченной контуром C, лежат три точки, в которых знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль: , , . Около точек опишем окружности , , достаточно малых радиусов так, чтобы они не пересекались и целиком лежали внутри контура С: (рис. 4).

Рис. 4

В четырёхсвязной области, граница которой состоит их окружностей C, , , подынтегральная функция аналитична. Применим теорему Коши для многосвязной области:

.

К каждому из интегралов по контурам , , применим интегральную формулу Коши. Получим:

.

Задача 10. Найти по формулам Тейлора первые три члена разложения функции по степеням z. Указать область сходимости ряда.

Решение. По теореме Тейлора функция f (z), аналитическая в точке а, может быть представлена в окрестности этой точки сходящимся степенным рядом , где коэффициенты вычисляются по формулам:

,

Причём этот ряд определён однозначно.

В данном примере . Функция аналитична в точке и в её окрестности. Найдём значения функции и её производных в точке . Имеем:

,	,
,	,
,	,
………………	………………

Разложение функции по степеням z примет вид:

Теперь найдём область сходимости полученного ряда. Известно, что радиус сходимости ряда Тейлора функции f (z) равен кратчайшему расстоянию от центра ряда а до ближайшей особой точкифункции f (z).

Найдём особые точки функции . Очевидно, это будут те точки, в которых . Отсюда

, , .

Получили бесконечное множество точек, из которых ближайшими к центру ряда являются точки . Значит, радиус сходимости ряда равен и ряд сходится в круге .

Задача 11. Найти и построить область сходимости ряда

.

Решение. Ряд Лорана состоит из двух частей. Правильная часть сходится в круге , где .

В данном примере центр ряда , коэффициенты , . Получаем

.

Главная часть сходится вне круга , где . А так как , , то .

Таким образом, заданный ряд сходится в кольце (рис. 5).

Рис. 5

Задача 12. Разложить функцию по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

Решение. Преобразуем заданную функцию следующим образом:

.

Далее воспользуемся известным разложением функции по степеням t:

Заменяя , получим разложение по степеням :

Подставляя это разложение в каждое из слагаемых, находим

+

Полученный ряд сходится в проколотой области , так как кроме других особых точек функция не имеет.

Задача 13. Разложить функцию в окрестности в ряд Лорана. Указать область сходимости ряда.

Решение. Введём новую переменную . Очевидно, если , то . Рассмотрим функцию

.

Если эту функцию разложить в окрестности в ряд Лорана, то исходная функция будет разложена в окрестности . Функция имеет особую точку , следовательно, в кольце функцию можно разложить в ряд Лорана.

Известно, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

сходится к сумме , где . В нашем примере , поэтому, принимая в качестве знаменателя прогрессии, получим разложение

Этот ряд сходится в кольце . Возвращаясь к переменной z, найдём разложение для функции f (z):

Полученный ряд сходится в области или .

Замечание. Так как , то является устранимой особой точкой функции f (z). Доопределим f (z) равенством , тогда точка не является особой точкой функции f (z) и так как точка ξ = 0 есть нуль второго порядка функции , то и является нулём второго порядка функции .

Задача 14. Найти возможные разложения в ряд функции

, приняв центр ряда в точке .

Решение. Особыми точками функции являются точки , . Так как по условию задачи центр ряда лежит в точке , то имеются две области аналитичности заданной функции.

Отметив на плоскости особые точки, проведём круг с центром в точке и с радиусом , равным расстоянию от центра до особой точки . Так как центр ряда совпал с особой точкой , то получаем проколотую область . Второй областью является внешность круга (рис. 6).

Рис. 6

Найдём разложения в ряд функции в каждой из заданных областей.

I. (ряд Лорана).

Представим дробь в виде разности двух простейших дробей:

.

Нам достаточно разложить только одну дробь по степеням разности . Выделим эту разность и воспользуемся представлением суммы геометрической прогрессии. В данном случае знаменатель прогрессии . Получаем

Таким образом, ряд Лорана в области для функции имеет вид:

II. (ряд Лорана). Для всех точек выполняется неравенство . Учитывая это, представим заданную функцию следующим образом:

.

Теперь в качестве знаменателя геометрической прогрессии надо брать . Разложение Лорана примет вид

Этот ряд сходится в области .

Задача 15. Найти вычеты функций в указанных особых точках:

а) , ; б) , ;

в) , .

Решение. а) Определим тип особой точки функции . Так как , то точка является устранимой особой точкой функции. Поэтому .

б) Определим тип особой точки функции . Точка является нулем пятого порядка функции , значит есть полюс пятого порядка функции . Воспользуемся формулой вычета функции относительно полюса порядка m:

.

В нашем примере , следовательно,

.

в) Точка является существенно особой точкой функции , так как не существует. Разложим заданную функцию в ряд Лорана по степеням . В проколотой окрестности точки , т.е. в области имеем:

.

Из этого разложения найдем коэффициент при .

Так как , значит, .

Задача 16. Вычислить интегралы, применяя теорему о вычетах:

а) ; б) .

Решение. а) По основной теореме о вычетах

,

где − изолированные особые точки функции , лежащие в области, ограниченной контуром С. В нашем примере внутри области лежат четыре особые точки функции , обращающие знаменатель дроби в нуль. Можно воспользоваться . Известно, что сумма вычетов относительно всех особых точек расширенной комплексной плоскости равна нулю. А так как вне области других особых точек подынтегральная функция не имеет, то

.

Итак, достаточно найти . Разложение подынтегральной функции в ряд Лорана в окрестности , т.е. в области имеет вид

.

Из полученного разложения имеем . А так как , то подставляя в формулу, найдем значение интеграла

.

б) Вычислим интеграл . Внутри области лежит одна особая точка подынтегральной функции . Так как является существенно особой точкой функции , то для отыскания вычета разложим эту функцию в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области . Получаем

,

откуда и, следовательно, .

Задача 17. Вычислить интегралы с помощью вычетов:

а) ; б) , t > 0.

Решение. а) Если f (x) − функция действительного переменного непрерывна на всей действительной оси и степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то несобственный интеграл , где − особые точки функции f (z), лежащие в верхней полуплоскости. Введем функцию , которая на действительной оси, т.е. при , совпадает с подынтегральной функцией f (x). Функция f (z) имеет в верхней полуплоскости один полюс второго порядка (второй полюс лежит в нижней полуплоскости). Применяя формулу вычета относительно кратного полюса и подставляя в значение интеграла, найдём:

.

б) , . Здесь интеграл берется вдоль вертикальной прямой . Так как по условию , то необходимо найти вычеты относительно всех особых точек подынтегральной функции, лежащих левее заданной прямой. Функция имеет в полуплоскости три особые точки: – полюс второго порядка, – полюс первого порядка, – полюс первого порядка. Имеем

.

5. ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ (ЗАЧЕТ)

5.1. Требования для сдачи экзамена

К экзамену допускаются только те студенты, у которых зачтены все индивидуальные задания и лабораторные работы.

Студенты, обучающиеся по КЗФ, сдают экзамен во время экзаменационной сессии по билетам (в устной или письменной форме). Каждый билет содержит два теоретических вопроса, четыре задания на выбор варианта ответа и четыре задачи. Экзамен считается сданным, если выполнено более 55% заданий.

Студенты, обучающиеся с использованием ДОТ, сдают экзамен в тестовой форме (онлайн режим). Экзаменационный тест содержит 20 тестовых заданий различного уровня сложности. Структура экзаменационного теста представлена в таблице:

Таблица 1

Структура экзаменационного теста

Оценка за экзамен выставляется по сумме набранных баллов за задания теста.

Итоговая оценка по дисциплине формируется по результатам сдачи индивидуальных домашних заданий и экзамена.

5.2. Вопросы для подготовки к зачету

1. Комплексное число, три формы записи комплексного числа.

2. Арифметические операции с комплексными числами.

3. Последовательность комплексных чисел, определение предела, необходимость и достаточность существования предела последовательности комплексных чисел.

4. Понятие функции комплексного переменного (фкп). Предел и непрерывность фкп.

5. Нахождение вещественной и мнимой частей фкп.

6. Производная фкп, определение дифференцируемости, необходимые и достаточные условия дифференцируемости.

7. Понятие аналитичности функции в точке и в области; свойства аналитических функций.

8. Гармонические функции; доказательство того, что действительная и мнимая части аналитической функции в области являются гармоническими в этой области.

9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной фкп.

10. Понятие интеграла от фкп.

10. Свойство независимости интеграла от пути интегрирования.

11. Условие существования интеграла фкп.

11. Теорема Коши для односвязной, многосвязной области.

12. Интегральная формула Коши и интеграл типа Коши.

13. Понятия ряда комплексных чисел.

14. Необходимые и достаточные условия сходимости ряда комплексных чисел.

15. Область сходимости функционального ряда фкп.

12. Ряд Лорана, его область сходимости.

16. Понятие вычета фкп, формулы для вычисления вычетов функции относительно изолированной особой точки.

17. Основная теорема о вычетах и теорема о сумме вычетов по всем изолированным особым точкам, включая бесконечность.

5.3. Образец билета к зачету
для студентов классической заочной формы обучения

1. Теория.

2. Теория.

3. Найдите коэффициент растяжения и угол поворота при отображении в точке .

4. Вычислите интеграл , если .

5. Найдите все лорановские разложения функции по степеням .

5.4. Образец билета к зачету для студентов, обучающихся с использованием дистанционных образовательных технологий

1. Задания на выбор единственного ответа

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

2. Задания на выбор множественных ответов

Дата добавления: 2014-11-25; Просмотров: 1930; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!