Место дисциплины в структуре основной образовательной программы 4 страница

.

2. Вычислите и постройте на комплексной плоскости , .

3. Решите уравнение .

4. а) Постройте на комплексной плоскости множество точек:

;

б) запишите неравенствами область: полуполоса, расположенная между прямыми х = 0, х = 2 ниже оси Ox.

5. Запишите в алгебраической форме:

а) ; б) Ln(− 2).

6. Выделите Im w, Re w, если .

7. Найдите угол поворота и коэффициент растяжения k в точке при отображении .

8. Найдите аналитическую функцию , если , f (1) = i.

9. Вычислите , где l - отрезок, соединяющий точки , .

10. Вычислите , где

а) ; б) ; в) .

11. Найдите три первых члена разложения функции в ряд Тейлора по степеням непосредственным вычислением коэффициентов ряда. Укажите область сходимости ряда.

12. Определите характер особых точек функций:

а) , ; б) , ;

в) , .

13. Найдите вычеты:

а) ; б) ;

в) ; г) .

14. Найдите и постройте область сходимости ряда Лорана

.

15. Разложите в ряд Лорана функцию в проколотой окрестности точки . Укажите область сходимости ряда.

16. Разложите в ряд Лорана функцию в окрестности точки . Укажите область сходимости ряда.

17. Найдите возможные разложения в ряд функции , приняв центр ряда в точке .

18. Вычислите интегралы, применяя теорему о вычетах:

а) ; б) .

19. Вычислите интегралы с помощью вычетов:

а) ; б) ; в) , a > 0.

Вариант 17

1. Представьте в тригонометрической и показательной форме число

.

2. Вычислите и постройте на комплексной плоскости числа .

3. Найдите все решения уравнения .

4. a) Постройте на комплексной плоскости множество точек:

;

б) Запишите неравенствами область: полуполоса, расположенная между прямыми x = 1, x = 2 выше прямой y = 1.

5. Запишите в алгебраической форме:

а) ; б)

6. Выделите Im w и Re w, если .

7. Найдите угол поворота a и коэффициент растяжения k в точке при отображении .

8. Найдите аналитическую функцию , если

,

9. Вычислите , если l - отрезок, соединяющий точки , .

10. Вычислите , если

а) ; б) ; в) .

11. Найдите три первых члена разложения функции по степеням z. Укажите область сходимости ряда.

12. Определите характер особых точек функций:

а) , ;

б) , ;

в) , .

13. Найдите вычеты:

а) ; б) ;

в) ; г) .

14. Найдите и постройте область сходимости ряда Лорана

15. Разложите функцию в окрестности точки в ряд Лорана. Укажите область сходимости полученного ряда.

16. Разложите в ряд Лорана функцию по степеням z. Укажите область сходимости полученного ряда.

17. Найдите возможные разложения в ряд функции , приняв центр ряда в точке .

18. Вычислите интегралы, применяя теорему о вычетах:

а) ; б) .

19. Вычислите интегралы с помощью вычетов:

а) ; б) ; в) , t > 0.

Вариант 18

1. Представьте в тригонометрической и показательной формах число

.

2. Вычислите и постройте на комплексной плоскости .

3. Найдите все решения уравнения .

4. а) Постройте на комплексной плоскости множество точек:

;

б) Выразите с помощью неравенств область: четверть кольца, заключённая между окружностями радиусов 1 и 2 с центром в начале координат и расположенная в первой координатной четверти.

5. Запишите в алгебраической форме

а) ; б)Arcsin(5 i).

6. Найдите Re w, Im w для функции .

7. Найдите угол поворота a и коэффициент растяжения k в точке при отображении .

8. Восстановите аналитическую функцию , если

, f (1) = 1.

9. Вычислите , где l - полуокружность , .

10. Вычислите , где

11. Найдите по формулам Тейлора три первых члена разложения по степеням z функции . Укажите область сходимости полученного ряда.

12. Определите характер особых точек функций:

а) , ; б) , ;

в) , .

13. Найдите вычеты:

а) ; б) ;

в) ; г) .

14. Найдите и постройте область сходимости ряда Лорана

.

15. Разложите функцию в окрестности точки в ряд Лорана

. Укажите область сходимости ряда.

16. Разложите в ряд Лорана функцию по степеням z. Укажите область сходимости ряда.

17. Найдите возможные разложения в ряд функции , приняв центр ряда в точке .

18. Вычислите интегралы, применяя теорему о вычетах:

а) ; б) .

19. Вычислите интегралы с помощью вычетов:

а) ; б) ; в) , t > 0.

Вариант 19

1. Представьте в тригонометрической и показательной формах

.

2. Вычислите и постройте на комплексной плоскости .

3. Решите уравнение

4. а) Постройте на комплексной плоскости множество точек

;

б) Выразите с помощью неравенств область D = {полукольцо, заключенное между окружностями радиусов 2 и 3 с центром в начале координат, лежащее над осью Ox }.

5. Запишите в алгебраической форме:

а) Arch(3 i); б) .

6. Выделите Re w, Im w, если .

7. Найдите угол поворота α и коэффициент растяжения k в точке при отображении .

8. Найдите аналитическую функцию , если

, f (1) = i.

9. Вычислите , где l − отрезок, соединяющий точки , .

10. Вычислите , где .

11. Найдите первые три члена разложения функции в ряд Тейлора по степеням z непосредственным вычислением коэффициентов ряда. Укажите область сходимости ряда.

12. Определите характер особых точек функций:

а) , ; б) , ;

в) , .

13. Найдите вычеты:

а) ; б) ;

в) ; г) .

14. Найдите и постройте область сходимости ряда Лорана

.

15. Разложите в ряд Лорана в окрестности точки функцию

. Укажите область сходимости ряда.

16. Разложите в ряд Лорана функцию по степеням z. Укажите область сходимости ряда.

17. Найдите возможные разложения в ряд функции , приняв центр ряда в точке .

18. Вычислите интегралы, применяя теорему о вычетах:

а) ; б) .

19. Вычислите интегралы с помощью вычетов:

а) ; б) ; в) .

Вариант 20

1. Представьте в тригонометрической и показательной формах число

.

2. Вычислите и постройте на комплексной плоскости .

3. Решите уравнение .

4. Постройте на комплексной плоскости множества точек:

а) ;

б) .

5. Запишите в алгебраической форме:

а) ; б) Ln(1 – i).

6. Выделите Re w, Im w, если .

7. Найдите угол поворота α и коэффициент растяжения k в точке при отображении .

8. Найдите аналитическую функцию , если

, .

9. Вычислите , где l – отрезок, соединяющий точки , .

10. Вычислите , где C:

а) ; б) ; в) .

11. Найдите первые три члена разложения в ряд Тейлора по степеням z функции непосредственным вычислением коэффициентов ряда. Укажите область сходимости ряда.

12. Определите характер особых точек функций:

а) , ; б) , ;

в) , .

13. Найдите вычеты:

а) ; б) ;

в) ; г) .

14. Найдите и постройте область сходимости ряда Лорана

.

15. Разложите в ряд Лорана в окрестности функцию . Укажите область сходимости ряда.

16. Разложите в ряд Лорана функцию в окрестности точки . Укажите область сходимости ряда.

17. Найдите возможные разложения в ряд функции , приняв центр ряда в точке .

18. Вычислите интегралы, применяя теорему о вычетах:

а) ; б) .

19. Вычислите интегралы с помощью вычетов:

а) ; б) ; в) .

Решение типового варианта
и образец оформления индивидуального задания № 1

Задача 1. Представить в тригонометрической и в показательной форме число

.

Решение. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа имеют, соответственно, вид:

и .

Сначала найдём модуль и аргумент числа . Для этого запишем его в алгебраической форме . Тогда

, .

Следовательно, можно записать в показательной форме . Тогда . Вычтем целое число оборотов у аргумента : .

Таким образом,

– показательная форма;

– тригонометрическая форма.

Задача 2. Вычислить и построить на комплексной плоскости числа