Решение

По условию имеем: .

1. Область определения , .

2. Область значений .

3. Функция не четная и не нечетная, то есть общего вида.

4. Непериодическая.

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ: ,

с осью ОУ: .

6. Асимптоты:

, следовательно,

горизонтальных и вертикальных асимптот нет.

Проверим наличие наклонной асимптоты :

наклонной асимптоты нет.

7.Найдем точки экстремума и промежутки монотонности.

- критическая точка.

Разобьем критической точкой область определения на промежутки и определим знак производной в каждом промежутке:

	_		+
	убывает	точка минимума	возрастает

8. Определим точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости.

Составим таблицу:

	_	не Сущ.	+
	выпуклая	точка перегиба	вогнутая

9.На основании исследования строим график (рис. 3)

Рис. 3

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить производные и от вектор – функции

а) при ,

б) при .

2. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой в точке .

а) , ,

б) , .

3. Вычислить кривизну линии в точке .

а) , ,

б) , .

4. Исследовать функцию и построить график кривой.

а) ,

б) .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Дайте определение вектор - функции.

2. Что называется производной вектор - функции?

3. Вычислить производную вектор – функции

.

4. В чем заключается физический смысл производной вектор – функции?

5. Какая вектор – функция называется дифференцируемой?

6. Что называется дифференциалом вектор – функции?

7. Запишите векторное представление кривой Г, заданной параметрически:

8. Какой вектор является вектором касательной к кривой Г?

9. Найдите вектор касательной к кривой Г, заданной

в точке .

10. Что называется кривизной кривой?

Рекомендуемая литература

1. Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебник. В 2 т. Т. 1 / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - Ростов н/Д.: Феникс, 1997. - 512 с.

2.Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Наука, 1989. - 736 с.

3.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2 кн. Кн. 1 / Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл- Пресс, 2002. - 416 с.

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Варианты примеров к типовому заданию.

I. Найти производную от функции:

1. 2.

; ;

; ;

4; 4

. .

3. 4.

; ;

; ; ; ;

. .

5. 6.

; ;

; ;

; ;

. .

7. 8.

; ;

; ;

; ;

. .

9. 10.

; ;

; ;

; ;

. .

11. 12.

; ;

; ;

; ;

. .

13. 14.

;

; ;

; ;

. .

15. 16.

; ;

; ;

; ;

. .

17. 18.

; ;

; ;

; ;

. .

19. 20.

; ;

; ;

; ;

. .

21. 22.

;

; ;

; ;

. .

23. 24.

; ;

; ;

; ;

. .

25. 26.

; ;

; ;

; ;

. .

27. 28.

; ;

; ;

; ;

. .

29. 30.

; ; ; ;

; ;

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Варианты примеров к типовому заданию.

II. Найти производную от функции:

Вариант №1 Вариант №2

1. 1.

2.; 2.;

3.; 3.;

4.4; 4. 4 5.. 5. .

Вариант №3 Вариант №4

3. 4.

; ;

; ; ; ;

. .

5. 6.

; ;

; ;

; ;

. .

7. 8.

; ;

; ;

; ;

. .

9. 10.

; ;

; ;

; ;

. .

11. 12.

; ;

; ;

; ;

. .

13. 14.

;

; ;

; ;

. .

15. 16.

; ;

; ;

; ;

. .

17. 18.

; ;

; ;

; ;

. .

19. 20.

; ;

; ;

; ;

. .

21. 22.

;

; ;

; ;

. .

23. 24.

; ;

; ;

; ;

. .

25. 26.

; ;

; ;

; ;

. .

27. 28.

; ;

; ;

; ;

. .

29. 30.

; ; ; ;

; ;

. .

2. Найти производную от функции, заданной неявно.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7.; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28. 29. 30.

3. Найти производные и от параметрически заданной функции.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. , ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. , ; 24. ;

25 ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30.

4. Задачи на геометрический смысл производной.

1. Составить уравнение такой нормали к кривой которая перпендикулярна прямой

2. Составить уравнения таких касательных к кривой которые параллельны прямой .

3. Составить уравнения таких касательных к кривой которые параллельны прямой .

4. Составить уравнения такой касательной к кривой которая перпендикулярна прямой

5. Составить уравнения такой нормали к кривой которая перпендикулярна прямой

6. В каких точках линии касательная к ней параллельна прямой ?

7. Составить уравнения таких касательных к кривой которые параллельны прямой

8. Составить уравнения таких нормалей к кривой которые параллельны прямой

9. Составить уравнение такой нормали к кривой которая параллельна прямой

10. Составить уравнение такой касательной к кривой которая параллельна прямой

11. Составьте уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой

12. Найти тангенсы углов , под которыми ось ОХ пересекается с кривой .

13. Найти тангенсы углов , под которыми пересекаются кривые и

14. Найти тангенсы углов , под которыми прямая пересекается с кривой

15. В какой точке касательная к параболе наклонена к оси ОХ под углом ? Составить уравнение касательной и нормали к параболе в этой точке.

16. В какой точке касательная к кривой параллельна прямой Составить уравнения касательной и нормали, проходящих через эту точку.

17. Найти точки, в которых касательные к кривой и параллельны. Составить уравнение этих касательных.

18. Написать уравнения и нормали к кривой в точке ее пересечения с параболой

19. под каким углом синусоида пересекает прямую ? Составить уравнения касательных в точках пересечения.

20. Показать, что касательная в любой точке кривой наклонена к оси абсцисс под острым углом. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

21. Показать, что гиперболы и пересекаются под прямым углом. Составить уравнения касательных к кривой в точках пересечения гипербол.

22. Определить тангенсы углов под которыми пересекаются кривые , . Составить уравнение касательной к кривой в точке пересечения.

23. Определить угол, под которым пересекаются кривые и , . Составить уравнение касательной к прямой в точке пересечения.

24. В уравнении параболы числа и определить так, чтобы парабола касалась прямой в точке .

25. В уравнении параболы числа , с определить так, чтобы она касалась прямой в точке

26. Составить уравнение такой касательной к прямой которая параллельна прямой

27. Составить уравнение такой касательной к кривой которая перпендикулярна прямой

28. Составить уравнение такой нормали к кривой которая перпендикулярна прямой

29. Найти угла , под которым пересекается гипербола с параболой

30. На параболе взяты две точки с абсциссами Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?

5. Задачи на механический и физический смысл производной.

1. Точка движется прямолинейно по закону Найти скорость и ускорение движения через 1с. после начала движения.

2. Закон прямолинейного движения точки выражается формулой . Найти скорость и ускорение в момент времени

3. Точка движется по оси абсцисс по закону . В какой момент времени точка остановится?

4. Тело массой 5кг движется прямолинейно по закону Найти кинетическую энергию тела через две секунды после начала движения.

5. Вращающееся колесо задерживается тормозом. Угол , на который колесо поворачивается в течение 1с, определяется равенством Найти угловую скорость и угловое ускорение через 2с после включения тормоза.

6. Тело движется по закону :

а) показать, что его ускорение численно равно пройденному пути;

б) найти путь и ускорение через 1 с, если .

7. Закон прямолинейного движения выражается формулой Найти скорость и ускорение в момент времени c.

8. Скорость прямолинейного движения тела пропорциональна квадратному корню из пройденного пути S (как, например, при свободном падении тела). Доказать, что тело движется под действием постоянной силы. Найти ускорение, если коэффициент пропорциональности равен 2.

9. Тело движется по прямой ОХ по закону Определить скорость и ускорение движения в момент времени c.

10. Колебательное движение материальной точки совершается по закону определить скорость и ускорение движения в точке x =0.

11. Тело движется по прямой ОХ по закону В какие моменты времени тело меняет направление движения?

12. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален кубу времени. Первые два оборота сделаны колесом за 4 с. Найти угловую скорость через:

а) 16 с после начала движения;

б) 8 с после начала движения.

13. Точка движется прямолинейно так, что где v – скорость, x – пройденный путь, a – постоянная. Определить ускорение движения при x =8.