Лекція 8 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n -ого порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод невизначених коефіцієнтів

КУЛЬТУРОЛОГИЯ

Архитектура, образование, просветители, известные люди Белгородчины 206

Христианское сознание – основа средневекового менталитета 106

§ 4. Научная культура в средние века............................. 109

§ 4. Художественная культура в средневековой Европе 113

§ 5. Средневековая музыка и театр.................................. 120

Тема 7. Культура эпохи Возрождения...................................... 125

§ 1. Особенности эпохи Возрождения............................ 125

§ 2. Раннее Возрождение.................................................. 127

§ 3. Высокое Возрождение............................................... 131

§ 4. Позднее Возрождение. Кризис гуманизма.............. 134

Тема 8. Культура эпохи Просвещения..................................... 140

§ 1. Специфика Просвещения.......................................... 140

§ 2. Просвещение в странах Европы и Америки........... 146

Тема 9. Культура Нового времени............................................ 149

§ 1. Особенности и периодизация Нового времени...... 149

§ 2. Наука............................................................................ 150

§ 3. Философия.................................................................. 152

§ 4. Литература.................................................................. 154

§ 5. Художественная культура (музыка, живопись, стили) 156

Тема 10. Европейская культура XIX–XX вв........................... 168

§ 1. Культура XIX века и ее особенности....................... 168

§ 2. Отношение между наукой и искусством................. 169

§ 3. XX век и его особенности........................................ 170

§ 4. Авангардизм и его влияние на художественную культуру 171

Тема 11. Культура России XI-XIX вв..................................... 174

§ 1. Культурное развитие Киевской Руси....................... 174

§ 2. Особенности средневековой русской культуры..... 176

§ 3. Культура России в XVIII веке.................................. 181

§ 4. Культурный взлет России в XIX веке.................... 184

Раздел 3. Современные проблемы культуры........................... 189

Тема 12. Современность и молодежная культура................. 189

§ 1. Молодежная субкультура. Понятие субкультуры... 189

§ 2. Специфика молодежной субкультуры..................... 191

§ 3. Эстетика молодежной субкультуры......................... 194

§ 4. Западные модели молодежных субкультур. Заключение 196

Тема 13. Культура Белгородчины............................................. 203

§1. Из истории Белгородского края................................. 203

§2. Быт и нравы, народные традиции Белгородчины... 204

§ 4. Современность Белгородчины.................................. 207

Список литературы.................................................................... 210

Учебное издание

Марчевская Ирина Владимировна

Учебное пособие

Корректор Н.В. Сергеева

Компьютерный набор и верстка И.В. Марчевской, Е.А. Скляровой

Сдано в набор ­­­­25.11.2009. Подписано в печать 29.12.2009

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная.

Гарнитура Times New Roman. Ризография. Усл. печ. л. 12,67.

Тираж 500 экз. Заказ

Издательство Белгородского университета потребительской кооперации

«Кооперативное образование»

308023, г. Белгород, ул. Садовая, 116а

Розглянемо рівняння:

(8.1)

, (8.2)

де , .

Фундаментальну систему розв’язків рівняння (8.2) можна знайти алгебраїчними методами таким чином. Складаємо алгебраїчне рівняння:

, (8.3)

яке називається характеристичним рівнянням для рівняння (8.2). Воно має n коренів, серед яких можуть бути дійсні прості та кратні корені, а також пари комплексно-спряжених коренів (простих і кратних).

Якщо всі корені характеристичного рівняння (8.3) – прості та дійсні, то маємо фундаментальну систему розв’язків рівняння (8.2):

, , , . (8.4)

Відомо, що кожному дійсному кореню кратності характеристичного рівняння (8.3) відповідає рівно лінійно незалежних розв’язків рівняння (8.2) вигляду: ; ; ; . (8.5)

Кожній парі комплексно-спряжених коренів кратності m характеристичного рівняння (8.3) відповідає рівно 2m лінійно незалежних розв’язків рівняння (8.2) вигляду:

, ,

, ,

, , (8.6)

...................................................................

,

Отже, n кореням характеристичного рівняння (8.3) відповідає рівно n лінійно незалежних розв’язків однорідного рівняння (8.2), що утворюють фундаментальну систему розв’язків, лінійна комбінація яких з довільними коефіцієнтами дає загальний розв’язок рівняння (8.2).

Якщо в рівнянні (8.2) n =2, то маємо ЛОДР другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

(8.7)

Корені його характеристичного рівняння:

(8.8)

можуть бути:

1) дійсними і різними: ;

2) дійсними і рівними: ;

3) комплексно-спряженими: .

Їм відповідають наступні фундаментальні системи розв’язків і загальні розв’язки рівняння (8.7):

1) , , ;

2) , , ;

3) , ; .

В різних інженерних застосуваннях права частина рівняння (8.1) в багатьох випадках має спеціальний вигляд:

, (8.9)

де , - многочлени степеня r та s відповідно, a,b – деякі сталі числа.

Частинними випадками функції є:

, (b =0)

, (a =0)

, (A=const, B=const)

, (a =0, =A, =B)

, (a =0, b =0).

Частинний розв’язок рівняння (8.1) має аналогічну цим правим частинам структуру. Для загального випадку функції :

, (8.10)

де ,- многочлени степеня ; дорівнює числу коренів характеристичного рівняння (8.3), що співпадають з числом . Таким чином, , якщо серед коренів немає числа ;=1, якщо існує один корінь, що співпадає з числом ;=2, якщо існує двократний корінь, що співпадає з числом , і т.д. Згідно формули (8.10) одразу можна визначити структуру частинного розв’язку , в якому невідомими є тільки коефіцієнти мночленів , . Підставимо розв’язок та його похідні в рівняння (8.1) і прирівняємо коефіцієнти подібних членів справа та зліва. Одержали необхідну кількість лінійних алгебраїчних рівнянь для обчислень цих невідомих коефіцієнтів. Такий спосіб знаходження коефіцієнтів і, тим самим, частинного розв’язку називається методом невизначених коефіцієнтів.

Лекція 9 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння. Метод варіації довільних сталих

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку

(9.1)

і відповідне йому однорідне рівняння

(9.2)

Загальний розв’язок диференціального рівняння (9.1) визначає теорема.

Теорема. Загальний розв’язок диференціального рівняння (9.1) дорівнює сумі загального розв’язку однорідного рівняння та частинного розв’язку неоднорідного рівняння, тобто має вигляд

(9.3)

де - загальний розв’язок (9.2), а - довільний частинний розв’язок (9.1).

Метод варіації довільних сталих запропонував Лагранж. Суть його в тому, що загальний розв’язок диференціального рівняння (9.1) шукаємо в тому ж вигляді, що й для диференціального рівняння (9.2), тобто

, (9.4)

де - деякі функції. Зазначимо, що загальний розв’язок (9.3) для диференціального рівняння (9.1) містить три функції, тоді як (9.4) – чотири, тобто дістанемо додатковий ступінь вільності, яким у подальшому скористаємося відповідним чином.

Знайдемо похідну розв’язку (9.4)

Використовуючи додатковий ступінь вільності, вважаємо, що

, (9.5)

тобто . Тоді .

Підставивши в (9.1), знайдемо

.

Оскільки і - розв’язки рівняння (9.2), то фактично після підстановки матимемо

. (9.6)

Система із рівнянь (9.5) і (9.6) дає змогу, оскільки , знайти і , а зрештою, і .

Приклад

.

Запишемо відповідне однорідне рівняння у вигляді .

Двічі інтегруючи, дістанемо .

Таку саму форму має і загальний розв’язок заданого рівняння при . Для знаходження цього розв’язку застосуємо систему рівнянь (9.5)-(9.6):

Звідси Остаточно

Дата добавления: 2014-10-17; Просмотров: 628; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!