КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям
|
|
|
|
Вычисление определенного интеграла методом подстановки.
Основные свойства определенного интеграла
1. 
.
2. 
.
3.
.
4.
.
Для вычисления определённого интеграла методом подстановки (замены переменной) надо находить пределы интегрирования для новой переменной.
.
.
Примеры.
Вычислить определенные интегралы:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
Решение.
1. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
.
2. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
.
3. Вычислим интеграл 
.
Введем подстановку 
, тогда 
, 
. Определим пределы интегрирования для переменной t. При 
получаем 
, при 
получаем 
.
Выразим подынтегральное выражение через t и 
и, перейдя к новым пределам,
получим:
.
4. Вычислим .
Приложение определенного интеграла
Определённый интеграл применяют для решения геометрических и физических задач. Например, при вычислении площадей фигур, объёмов тел вращения, работы переменной силы, расстояния при прямолинейном перемещении, длины дуги плоской кривой, площади поверхности вращения, статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой и при решении многих других прикладных задач.
Площадь S фигуры (рис. 12), ограниченной непрерывными кривыми y = f1(x), y = f2(x), вертикалями х = а, x = b,, вычисляется по формуле:
Рисунок 12. Площадь криволинейной трапеции.
, где f1(x) 
f2(x) при a 
x b
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:
, 
.
Решение.
|
|
Рисунок 13. Графики функций 
Построим графики функций 
, 
.
Нетрудно видеть, что графики пересекаются в точках (0;0) и (1;1).
Поэтому
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x) ≥ 0 и прямыми x = a, x = b (a < b), y = 0 (рис.14 а))
|
|
|
|
Рисунок 14. Тела вращения.
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой x = g(y) ≥ 0 и прямыми y = a, y = b (a < b), x = 0 (рис. 14 б)), равен
.
Пример.
Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных линиями:
y2 = 9x, y = 3x.
Решение.
|
|
Рисунок 15. Графики функций y2 = 9x, y = 3x.
Построим графики функций y2 = 9x, y = 3x (рис.15).
.
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-10-17; Просмотров: 684; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!