Градиент

Пример.

Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Решение.

Находим

(при постоянных y и z)

(при постоянных x и z)

(при постоянных y и x)

Возводим эти выражения в квадрат и подставляем в левую часть заданного уравнения:

Получаем тождественное равенство, т.е функция u удовлетворяет уравнению.

Градиентом функции z = f(x, y) в точке М(х, у) называется вектор с началом в точке М₀, координаты которого равны соответствующим частным производным и , вычисленным в точке М(х, у).

Градиент обозначается grad z = (,).

Аналогично определяются градиент для функции трех переменных u = f(x, y, z) в точке М(x, y, z):

.

Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u = f(M).

Производная функции трех переменных u = f(x, y, z) в точке М(x, y, z) по направлению вектора :

,

где – направляющие косинусы единичного вектора .

Дата добавления: 2014-10-17; Просмотров: 373; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!