Интерполяционные квадратурные формулы

Воспользуемся алгебраическим интерполированием. Пусть весовая функция — отлична от нуля на множестве положительной меры на [a,b] и всюду на [a,b] . Пусть существуют интегралы , которые называются моментами функции . Пусть — непрерывна и существует интеграл . Выберем на [a,b] каким-либо образом n различных точек, расположенных в порядке возрастания:, и построим интерполяционный многочлен для функции по этим точкам. Это будет многочлен степени не выше n -1. Запишем его в форме Лагранжа:

, где (1.1)

Функцию можно представить в виде , где — погрешность интерполирования. Проинтегрируем это соотношение:

Рассмотрим первый интеграл справа:

где (1.2)

Таким образом, мы получили квадратурную формулу:

(1.3)

где коэффициенты А_к определяются по формуле (1.2), а

(1.4)

Определение. Квадратурная формула, у которой узлы призвольны, а коэффициенты определяются по формуле (1.2), называется интерполяционной квадратурной формулой.

Определение. Будем говорить, что квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности (АТС), равную т, если она точна для любого многочлена степени не выше т и не точна для (а значит и для любого многочлена степени m +1).

Теорема. Для того, чтобы квадратурная формула (1.3) была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы она была точна для всех многочленов степени не выше n -1.

Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 1210; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!