КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Непрерывность функции
|
|
|
|
Рассмотрим функцию 
, определенную на промежутке 
Пусть 
. Функция называется непрерывной в точке 
, если
Функция 
называется непрерывной слева (справа) в точке , если 
. Естественно, при этом функция должна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки . Непрерывность функции в точке означает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.
Функция , определенная на интервале 
называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала 
.
Функция 
, определенная на отрезке 
(
) называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке 
интервала 
, непрерывна справа в точке 
и непрерывна слева в точке 
.
Общие свойства непрерывных функций, заданных на отрезке , определяются четырьмя теоремами: двумя теоремами Больцано–Коши и двумя теоремами Вейерштрасса.
Теорема (первая теорема Больцано–Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка 
, в которой функция равна нулю.
Теорема (вторая теорема Больцано–Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда, если 
то функция принимает все свои промежуточные значения, принадлежащие промежутку 
, где 
, 
, т.е. 
.
Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция является ограниченной на этом отрезке.
Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция имеет минимум и максимум на этом отрезке (множество значений функции включает в себя точные верхнюю и нижнюю границы).
Отметим прежде всего, что основные элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены. К основным элементарным функциям относятся:
1. Постоянная функция 
. Область определения 
.
2. Идентичная функция 
. Область определения 
.
3. Одночлен 
, 
.
4. Многочлен 
, .
5. Рациональная функция 
, где 
и 
‑ многочлены. Функция определена при всех 
, кроме корней многочлена .
6. Степенная функция 
. Если 
, то функция определена по крайней мере на 
. При 
определена по крайней мере на 
. (При некоторых 
степенная функция может быть определена на более широком множестве. Например, функция 
имеет область определения 
. Функция 
определена на 
).
7. Показательная функция 
, , 
. Определена на 
.
8. Логарифмическая функция 
, , . Определена на.
9. Синус 
, косинус 
определены на . Эти функции являются периодическими с периодом 
, т.е. 
, для любого из .
10. Арксинус 
и арккосинус 
определены на 
.
Если и 
‑ непрерывные функции, то их сумма, разность и произведение являются непрерывными функциями. Частное непрерывных функций 
будет непрерывно всюду, где оно определено. Таким образом, можно утверждать, что всякая арифметическая комбинация непрерывных функций непрерывна всюду, где она определена.
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 353; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!