Бесконечные пределы

Справедлива также и обратная теорема: Если функцию , определенную на множестве , можно представить в точке сгущения (или на бесконечности) в виде суммы числаи бесконечно малой величины : то числоявляется пределом этой функции при указанных условиях.

Свойства бесконечно малых величин:

q Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;

q Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая;

q Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Функция называется бесконечно большой при (или , или ) если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех будет верно неравенство .

При () функция называется бесконечно большой, если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство .

Предел бесконечно большой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен бесконечности, т.е. .

Свойства бесконечно больших величин:

q Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая;

q Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;

q Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке есть величина бесконечно большая.

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при () то функция есть бесконечно большая величина при ().

Обратная теорема. Если функция есть бесконечно большая величина при () то функция есть бесконечно малая величина при ().