Затухающие колебания. Автоколебания

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В наиболее часто встречающихся случаях сила сопротивления пропорциональна величине скорости: , где - коэффициент сопротивления.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы – идеализированные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейной системой является, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука).

Запишем уравнение, описывающее колебания пружинного маятника при наличии сил сопротивления (второй закон Ньютона):

.

Обозначим , где коэффициент затухания и ,

где циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы (собственная частота).

Тогда дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы запишется следующим образом:

. (5.6.1)

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

, (5.6.2)

где начальная амплитуда, частота затухающих колебаний.

Затухающие колебания – это пример квазипериодического процесса (их можно рассматривать как условно гармонические с частотой и амплитудой ). Затухание нарушает периодичность колебаний и, строго говоря, к ним не применимо понятие периода или частоты. Однако, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 5.6.1). Тогда период затухающих колебаний равен:

. (5.6.3)

Выясним физический смысл коэффициента затухания . Для этого найдем время , за которое амплитуда уменьшается в е раз: ,

следовательно .

Таким образом, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз и, следовательно, определяет скорость затухания. Этот промежуток времени называют временем релаксации.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период , называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1628; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!