Сложение гармонических колебаний одного направления

Пусть система одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль оси Х, частота которых различна .

Можно показать, что результирующее колебание не является гармоническим. Его можно представить в виде: , где и зависящие от времени амплитуда и начальная фаза результирующего колебания. Их можно найти из следующих соотношений:

и

.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одного направления мало отличаются по частоте.

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы и равны А, а частоты равны и , причем . Начало отсчета выберем так, чтобы началь-

ные фазы обоих колебаний были равны нулю: . Сложим эти колебания: .

Применяя формулы приведения, и учитывая, что , найдем .

Таким образом , поэтому результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой , периодом и амплитудой, изменяющейся со временем по периодическому закону: .

Периодические изменения амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Частота изменения амплитуды в два раза больше частоты изменения косинуса (т.к. берется по модулю). Следовательно, частота биений равна , а период биений . График результирующего колебания показан на рис. 5.4.2.

Пример 5.4.1. Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных движениях, описываемых уравнениями , см и , см. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний имеет вид: , где амплитуда; круговая; начальная фаза колебаний. Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду: , . Из сравнения этих уравнений с уравнением гармонического колебания находим, что амплитуда первого колебания , амплитуда второго колебания , начальная фаза первого колебания , второго . Амплитуду результирующего колебания найдем по формуле

.

Тангенс начальной фазы результирующего колебания определим по формуле

.

Так как циклические частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту . Таким образом, уравнение результирующего колебания имеет вид , (м) или ,(м).

Ответ: , м.