КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Некоторые свойства z-преобразования
|
|
|
|
I. Линейность. Если 
и 
, то для любых комплексных постоянных 
и 
.
II. Теорема запаздывания (первая теорема смещения).
Если , то для любого целого 
справедливо преобразование
, 
III. Теорема опережения (вторая теорема смещения).
Если , то для любого целого справедливо преобразование
.
IV. Дифференцирование изображения. Справедливо соотношение
,
В частности, 
.
V. Изображение суммы. Если , то 
.
VI. Теорема подобия. Если 
, то справедливо соотношение
, где 
.
VII. Теорема о свертке оригиналов - последовательностей. Пусть , 
, тогда справедливо соотношение
.
Для того, чтобы по известному изображению найти оригинал можно:
1) воспользоваться таблицей, после разбиения дроби на сумму простейших дробей;
2) в случае, когда есть правильная рациональная дробь относительно 
, функцию 
можно найти по формуле
,
где сумма берется по всем полюсам функции .
Решение разностных уравнений
Разностью первого порядка решетчатой функции называется величина, обозначаемая как 
, и равная 
.
Разностью второго порядка 
называется величина, определяемая как 
.
Разностью 
-го порядка 
называется величина
.
, где 
.
Теорема (о -преобразовании разности). Пусть . Тогда -преобразование разностей равны
,
.
Р азностным уравнением -го порядка называется уравнение вида
или
,
где 
– решетчатая функция.
Рассмотрим процедуру решения линейного неоднородного разностного уравнения:
.
1) Применяем к обеим частям уравнения дискретное преобразование Лапласа
, 
и, учитывая, что
,
,
...
получим линейное алгебраическое уравнение относительно изображения .
2) Разрешив полученное уравнение относительно , возвращаемся назад к оригиналу – последовательности. Общее решение будет содержать неопределенные константы 
, которые фиксируются, исходя из начальных условий.
Задания к разделу 14.
Пользуясь определением, найти изображение для следующих функций:
14.1. 
14.2. 
.
14.3. 
Используя свойства дискретного преобразования Лапласа, найти изображения следующих функций:
14.4. 
14.5. 
14.6. 
14.7. 
Пользуясь теоремой об изображении суммы, найти сумму:
14.8. 
14.9. 
Найти оригиналы для следующих изображений:
14.10. 
14.11. 
С помощью дискретного преобразования Лапласа решить линейные разностные уравнения:
14.12. 
14.13. 
14.14. 
14.15. 
14.16. 
14.17. 
14.18. 
РАЗДЕЛ 15. Вариационное исчисление
Если каждой функции 
из некоторого множества поставлено в соответствие некоторое число J, то говорят, что на этом множестве задан функционал 
.
Приведем примеры функционалов.
1. Длина плоской кривой, заданной уравнением 
, 
:
.
2. Стоимость проезда по дорогам, имеющим вид кривых, соединяющих пункты А и В.
Основная задача вариационного исчисления – исследование функционалов на экстремум и отыскание тех функций, на которых этот экстремум достигается, например:
1. Из всех кривых плоскости, соединяющих точки А и В, найти ту, которая имеет наименьшую длину.
2. Из всех линий найти ту, по которой материальная точка быстрее всего соскальзывает под действием силы тяжести из точки А в точку В (задача о брахистохроне).
Простейшая задача вариационного исчисления
Рассмотрим функционал
, (1)
где 
– дважды непрерывно дифференцируемая функция.
Граничные точки допустимых кривых будем считать закрепленными:
, 
. (2)
Простейшая задача вариационного исчисления ставится так: среди всех функций (
) и удовлетворяющих условиям (2), найти ту, которая доставляет экстремум функционалу (1). Эта кривая удовлетворяет уравнению Эйлера
(3)
Здесь 
; 
.
Решения (интегральные кривые) уравнения Эйлера называются экстремалями.
Итак, граничная задача, которой должна удовлетворять функция , доставляющая экстремум функционалу (1) с граничными условиями (2) выглядит следующим образом:
(4)
Данная краевая задача может иметь единственное решение, может иметь множество решений или не иметь ни одного.
Частные случаи уравнения Эйлера.
1. F не зависит от 
: 
.
Уравнение Эйлера (3) в этом случае принимает вид:
.
Это уравнение является алгебраическим и определяет одну или конечное число кривых, которые могут и не удовлетворять граничным условиям.
2. F зависит лишь от : 
.
В этом случае экстремалями является семейство прямых линий
,
где 
и 
– произвольные постоянные, определяемые из граничных условий (2).
Задания к разделу 15.
В следующих примерах найти расстояния между данными кривыми на указанных интервалах.
15.1. 
15.2. 
15.3. 
Найти экстремали следующих функционалов:
15.4. 
15.5. 
; 
; 
.
15.6. 
; ; 
.
15.7. 
; ; 
.
15.8. 
; ; .
15.9. 
15.10. 
15.11. 
15.12. 
15.13. 
15.14. 
15.15. 
15.16. 
15.17. Задача о положении равновесия тяжелой однородной нити под действием силы тяжести. Среди всех плоских линий длины 
, концы которых лежат в заданных точках 
и 
, найти ту, у которой ордината центра тяжести минимальна.
Найти экстремали в следующих изопериметрических задачах.
15.18. 
при условии 
15.19. Найти минимум интеграла 
при условии 
15.20. Найти кратчайшее расстояние между точками 
и 
, лежащими на поверхности 
.
15.21. Найти расстояние между параболой 
и прямой 
15.22. Найти расстояние от точки 
до кривой y
.
15.23. Найти кратчайшее расстояние от точки 
до эллипса 
15.24. Найти кратчайшее расстояние от точки 
до параболы 
15.25. Найти кратчайшее расстояние от точки 
до поверхности 
ЛИТЕРАТУРА
1. Специальные математические методы и функции: учебно-методическое пособие по одноименной дисциплине для студентов специальности 1-36 04 02 «Промышленная электроника» днев. и заоч. форм обучения./ А. А. Бабич, Л. Д. Корсун, А. В. Емелин. - Гомель: ГГТУ им. П. О. Сухого, 2010. - 195 с.
2. Методические указания к контрольным заданиям по курсу «Специальные математические методы и функции» для студентов заочной формы обучения специальности 1-36 04 02 «Промышленная электроника»/ А. А. Бабич, Л. Д. Корсун, А. В. Емелин. - Гомель: ГГТУ им. П. О. Сухого, 2011. - 53 с.
3. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования/ Г. Деч. - Москва: Наука, 1971. - 288 с.
4. Краснов, М.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Учеб. пособие для втузов./ М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - М.: Наука, 1981. – 302с.
5. Краснов, М.Л. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие для втузов./ М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - М.: Наука, 1981.
6. Ефимов, А. В. Сборник задач по математике для втузов.: Учебное пособие. / В. А. Болгов, А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин и др./ под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – Москва: Наука, 1986. - Ч.2. Специальные разделы математического анализа. – 386 с.
7. Ефимов, А. В. Сборник задач по математике для втузов.: Учебное пособие/ Э. А. Вуколов, А. В. Ефимов, В. Н. Земсков и др./ под. Ред. А.В. Ефимова. - Москва: Наука, 1990. - Ч.4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения – 304 с.
8. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями./ Л. Коллатц. – Москва: Наука, 1968. - 504 с.
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 409; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!