Пространствах

Сжимающим отображением называется отображение метрического пространства М в себя , если существует такое число q, принимающее значение , что для любых двух точек х и у из М выполняется неравенство

.

Неподвижной точкой отображения называется точка х из М такая, что

.

Принцип сжимающих отображений. Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве, имеет единственную неподвижную точку.

Для сжимающего отображения справедлива следующая оценка сходимости последовательности приближений к неподвижной точке х:

,

где – стартовая точка.

Критерий сжимаемости отображения. Дифференцируемая функция сжимающее на отрезке отображение, если на этом отрезке .

При этом на отрезке имеется одна неподвижная точка.

Неподвижная точка может быть обнаружена с помощью метода итераций: .

Задания к разделу 4.

4.1. найти неподвижные точки отображения числовой прямой в себя.

4.2. Установить, имеет ли отображение

числовой прямой в себя неподвижные точки.

4.3. найти неподвижные точки данного отображения :

4.4. Найти неподвижные точки отображения

пространства в себя.

4.5. Найти неподвижные точки отображения пространства дважды дифференцируемых функций в себя.

4.6. Установить, задает ли функция , определенная на отрезке , сжимающее отображение.

4.7. Установить, задает ли функция , определенная на отрезке , сжимающее отображение.

4.8. Является ли сжимающим отображение луча в себя?

4.9. Является ли сжимающим отображение числовой прямой в себя.

4.10. Является ли сжимающим отображение , где

плоскости в себя, если плоскость рассматривается как метрическое пространство: а) ; б) .

4.11. Является ли отображение , где

плоскости в себя сжимающим, если плоскость рассматривается как метрические пространства: а) ; б) ; в) .

4.12. Установить, является ли отображение пространства в себя сжимающим, если .

4.13. Установить, имеют ли последовательности, заданные рекуррентными соотношениями, неподвижные точки, и если имеют, то найти их

а) , ;

б) , ;

в) , .

Указание: Ввести соответствующее отображение , определить область, в которой является сжимающим отображением. Предел найти как неподвижную точку.

4.14. Установить, является ли последовательность дробей

сходящейся, и если является, то найти ее предел.

4.15. Доказать, что следующие последовательности имеют пределы и найти их:

а) ;

б) .

РАЗДЕЛ 5. Линейное пространство

Линейным пространством V над полем действительных или комплексных чисел называется непустое множество, любой паре элементов которого и при помощи операций сложения и умножения на числе ставятся в соответствие единственные элементы и со свойствами:

V1: (коммутативность)

V2: (ассоциативность)

V3: (существование элемента 0)

V4: (существование элемента )

V5: (ассоциативность)

V6: (дистрибутивность)

V7: (дистрибутивность)

V8:

Элементы линейного пространства V называются точками или векторами. Часто линейное пространство V называют векторным пространством.

Линейно независимой называется система векторов , , если их линейная комбинация обращается в 0 только при нулевых коэффициентах:

.

В противном случае система называется линейно зависимой.

Бесконечная система векторов называется независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.

Конечномерным линейным пространством V называется линейное пространство, имеющее систему из n линейно независимых векторов, причем всякая система, содержащая вектор должна быть линейно зависимой. При этом число n называется размерностью относительно линейного пространства V.

Базисом линейного пространства V размерности называется любая совокупность n линейно независимых векторов.

Координатами вектора в базисе называются координаты , разложения вектора по базису :

.

Линейным подпростанством Е векторного пространства V называется непустое подмножество , которое замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения на член из поля R или C.

Линейной оболочкой системы векторов линейного пространства V называется множество всех их возможных линейных комбинаций

.

Векторной суммой линейных пространств V и W называется множество всех векторов, представленных в виде

, где , .

Прямой векторной суммой линейных пространств V и W называется их сумма при условии, что .

Размерность суммы двух конечномерных векторов пространств V и W может быть найдена по формуле Грассмана:

.

Прямым произведением векторных пространств V и W называется множество всех упорядоченных пар векторов , , , на котором определены следующие операции сложения и умножения на число :

,

.

Выпуклым множеством S называется подмножество , если для любой пары его элементов для произвольного числа справедливо включение

.

Выпуклой оболочкой называется наименьшее подмножество V, содержащее S.

Задания к разделу 5.

5.1. Является ли линейным пространство

а) пустое множество ;

б) множество, состоящее из одного нулевого элемента.

5.2. Существует ли линейное пространство, состоящее только из двух элементов?

5.3. Являются ли линейными пространствами над полем R множества:

а) рациональных чисел;

б) иррациональных чисел?

5.4. Являются ли линейными пространствами над полем С множества:

а) рациональных чисел;

б) иррациональных чисел?

5.5. Установить, являются ли линейными подпространствами заданные множества векторов в n мерном векторном пространстве V, и если являются, то найти их размерность:

а) множество векторов, все координаты которых равны между собой;

б) множество векторов, первая координата которых равна 0;

в) множество векторов, сумма координат которых равна 0;

г) множество векторов, сумма координат которых равна 1;

д) множество векторов плоскости, параллельных между собой;

е) множество векторов трехмерного пространства, перпендикулярных данной прямой;

ж) множество векторов плоскости, модули которых не превышают 1;

з) множество векторов плоскости, образующих угол с заданной прямой.

5.6. Установить, является ли заданное множество квадратных матриц порядка n линейным подпространством в пространстве всех квадратных матриц порядка n, и если является, то найти его размерность:

а) множество матриц с нулевой первой строкой;

б) множество диагональных матриц;

в) множество верхних треугольных матриц;

г) множество симметричных матриц;

д) множество антисимметричных матриц;

е) множество вырожденных матриц.

5.7. Установить, образует ли данное множество функций на произвольном отрезке линейное пространство относительно обычных операций сложения и умножения на действительное число :

а) множество непрерывных функций;

б) множество дифференцируемых функций;

в) множество интегрируемых функций;

г) множество ограниченных функций;

д) множество функций таких, что ;

е) множество неотрицательных функций;

ж) множество функций таких, что ;

з) множество функций таких, что ;

и) множество функций таких, что ;

к) множество монотонно возрастающих функций.

5.8. Доказать, что при любом натуральном n данное множество функций образует конечномерное линейное пространство. Найти размерность и указать базис этого пространства:

а) множество многочленов степени ;

б) множество четных многочленов степени ;

в) множество нечетных многочленов степени ;

г) множество тригонометрических многочленов порядка вида

;

д) множество четных тригонометрических многочленов порядка не выше n;

е) множество нечетных тригонометрических многочленов порядка не выше n;

ж) множество функций вида

.

5.9. Найти размерность и базис линейной оболочки заданной системы столбцов:

а) , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

5.10. Найти размерность и базис линейной оболочки системы матриц:

, , .

5.11. Найти размерность и базис линейной оболочки системы многочленов

; ; ; .

5.12. Показать, что многочлены образуют базис в пространстве многочленов степени не выше 5 и найти координаты заданных многочленов в этом базисе:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

5.13. Доказать, что пространство квадратных матриц порядка n является прямой суммой подпространства симметричных и антисимметричных матриц.

5.14. Установить, является ли n -мерное арифметическое пространство прямой суммой продпространства векторов, координаты которых равны между собой, и подпространства векторов, сумма координат которых равна 0.

5.15. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств, натянутых на системы векторов и :

а) , , ;

, ,;

б) , , ;

, ,.

5.16. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства многочленов степени не выше 3, натянутых на системы многочленов

и .

РАЗДЕЛ 6. Нормированные линейные пространства

Нормой элемента f линейного пространства V называется действительное число , удовлетворяющее следующим условиям:

Н1: ;

Н2: для ;

Н3: для .

Нормированным линейным пространством называется линейное пространство с введенной в ней нормой .

Всякое нормированное пространство является метрическим. Метрика вводится по формуле

.

 

Таблица основных нормированных пространств

 

Обозначение пространства	Элементы пространств	Формулы для норм
	,
	,
	,
	непрерывная на функции
	непрерывная на функции
	непрерывная на функции	,
	непрерывная вместе со своими производными до n -го порядка функция	,

Задания к разделу 6.

6.1. Является ли отображение векторного пространства в множество неотрицательных действительных чисел, определенное как сюръективным?

 

6.2. Задают ли метрику на числовой прямой следующие функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

 

6.3. Пусть Е – множество векторов на плоскости, заданных своими декартовыми координатами. Задают ли на Е норму следующие функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

 

6.4. Пусть P – линейное пространство многочленов с действительными коэффициентами. Можно ли принять за норму на Р:

а) модуль значения многочлена в точке 0;

б) сумму модулей коэффициентов многочлена.

 

6.5. Доказать, что пространство является нормированным.

 

6.6. Найти норму функции в пространствах:

а) ; б) ; в) .

 

6.7. Найти норму последовательности в пространствах:

а) ; б) ; в) .

 

6.8. Показать, что в нормированном пространстве никакая сфера не может быть пустым множеством.

РАЗДЕЛ 7. Евклидовы пространства. Ортогональность. Процедура Грамма-Шмидта. Гильбертово пространство.

 

Евклидовым пространством Е называется линейное пространство V, наделенное скалярным произведением.

Скалярным произведением называется функционал, действующий из в R, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. , причем ;

2. ;

3. ;

4. и .

Для любых двух элементов и евклидова пространства имеет место неравенство Коши-Буняковского:

Любое евклидово пространство является нормированным с нормой .

Ортогональными называются два элемента х и у евклидова пространства, если их скалярное произведение равно 0.

Угол между элементами евклидова пространства определяется через равенство

.

Ортонормированной называется система ненулевых векторов , если

1. ;

2. .

Система ортогональных векторов линейно независима. Для системы ортогональных векторов справедлива теорема Пифагора:

.

Если в некотором евклидовом пространстве существует линейно-независимая система векторов , тогда ортонормированную систему векторов можно получить используя процедуру Грамма-Шмидта:

; ; …; .

; ; …;

Гильбертовым пространством называется полное евклидово пространство.

 

Задания к разделу 7.

 

1. Пусть . Доказать, что .

 

2. Является ли евклидовым пространством , если паре векторов , поставлено в соответствие число:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

3. Является ли евклидовым пространством , если каждой паре функций , этого пространства поставлено в соответствие число:

а) ; б) .

 

4. а) Найти длину вектора , если , ;

б) , , ;

в) , , , ;

г) угол между векторами и , , .

 

5. Являются ли ортогональными в евклидовом пространстве следующие системы векторов:

а) , , ;

б) , , .

 

6. Пронормировать следующие векторы, заданные координатами в ортонормированном базисе:

а) , б) , в).

 

7. Какие из данных систем векторов являются ортогональными в :

а) ; б) ; в) .

 

8. В евклидовом пространстве пронормировать следующие векторы:

а) 1; б) ; в) .

 

9. В евклидовом пространстве даны два ортогональных вектора а и . Найти вектор с, такой, что а, , с образуют ортонормированный базис, если

а) ; ;

б) ; .

 

10. В евклидовых пространствах , по данному базису построить ортонормированный

а) , , ;

б) , , ;

а) , , , .

 

11. В евклидовом пространстве многочленов степени не выше первой, рассматриваемых на отрезке по данному базису , построить ортонормированный.

 

РАЗДЕЛ 8. Линейные операторы в евклидовых пространствах. Спектр собственных значений линейных операторов. Обратимость.

 

Пусть V и W два линейных пространства. Всякое отображение А, составляющее каждому элементу единственный элемент , называется оператором, действующим из V в W.

Линейным называется оператор А, если

1) ;

2) .

В конечномерном пространстве V линейный оператор задается квадратной матрицей . И наоборот, всякая квадратная матрица определяет в соответствующем пространстве линейный оператор или линейное преобразование.

Пусть Е – комплексное векторное пространство. Собственным значением оператора А называется комплексное число : , , такой что

. (1)

Собственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению называется всякий вектор , удовлетворяющий соотношению (1).

В конечномерных пространствах уравнение (1) эквивалентно системе линейных уравнений

, (2)

где I – единичная матрица.

Для того, чтобы система (2) имела ненулевые решения, она должна быть вырожденной, а значит

- характеристическое уравнение. (3)

Это уравнение имеет n корней.

Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение, но существует бесконечное множество векторов для заданного собственного значения.

Резольвентой линейного оператора А называется оператор . Значения , для которых определен и однозначен, называются регулярными точками А. Множество всех чисел , которые не являются регулярными, называются спектром А.

Множество всех собственных значений А, которые являются подмножеством спектра А, называется точечным спектром.

Для конечномерных пространств спектр линейного оператора А состоит только из точечного спектра.

Оператор В, определенный на R называется обратным к А оператором, если выполняются условия:

R , R – область значений

D , D – область определения.

Обратимым называется оператор, который имеет обратный. Обратный оператору А обозначается .

 

Задания к разделу 8.

 

1. Является ли линейным оператор :, если .

 

2. Может ли линейный оператор перевести пару ненулевых коллинеарных векторов в пару неколлинеарных?

 

3. Каков геометрический смысл условий линейности оператора

, .

 

4. Является ли линейным каждый из операторов , заданный следующим образом:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

 

5. Является ли линейным оператор , переводящий всякий вектор в вектор , заданный координатами в том же базисе, если:

а)