Бабич, А. А

Отображением f множества Х в множество Y называется всякое правило, сопоставляющее каждому элементу x множества Х единственный элемент y множества Y. При этом называется образом , а – прообразом .

Отображение называется сюръективным или сюръекцией, если отображается на всё множество , т.е. .

Отображение называется инъективным или инъекцией, если любым двум различным элементам соответствуют различные образы .

Отображение , являющееся одновременно сюръекцией и инъекцией, называется биекцией или взаимнооднозначным отображением.

Множества и называются эквивалентными, т.е. ~, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Мощностью конечного множества называется число его элементов .

Множества А и В имеют равные мощности, если ~.

Множество А называется счетным, если ~, где – множество натуральных чисел.

Теорема 1.1. Множество действительных чисел, принадлежащих отрезку несчетно.

Множество ~называется множеством мощности континуум.

Мощность счетного множества обозначается символом (алеф-нуль). Мощность мощности континуум обозначается как N (алеф) или c (готическая буква С).

Теорема Кантора-Берштейна. Пусть А и В два произвольных множества, а и два их подмножества. Тогда если ~и ~, то ~.

Задания к разделу 1.

1.1. Задают ли указанные функции отображение f множество действительных чисел в себя, и если задают, то является ли оно сюръективным? инъективным? биективным?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

1.2. Установить, являются ли указанные отношения действующие на множествах А и В, отображением , и если являются, то будут ли они сюръективными, инъективными, биективными.

а) А – множество русских слов; B – множество букв в русском алфавите; сопоставляет слову его первую букву;

б) А – множество функций, непрерывных на отрезке , B – множество действительных чисел; сопоставляет функции число ;

в) А – множество функций, имеющих на отрезке производные всех порядков; сопоставляет функции ее производную ;

г) А – множество всех окружностей плоскости; B – множество всех точек плоскости; сопоставляет каждой окружности ее центр;

д) А – множество всех окружностей радиуса ; B – множество всех точек плоскости; сопоставляет каждой окружности ее центр.

1.3. Множество А состоит из четырех элементов, а множество В из двух. Существуют ли указанные типы отображений, и если существуют, то определить их количество:

а) инъекция А в В;

б) сюръекция А на В;

в) инъекция В в А;

г) сюръекция В на А.

1.4. Построить следующие биективные отображения:

а) интервал на интервал ;

б) интервал на интервал ;

в) интервал на интервал ;

г) интервал на интервал ;

д) интервал на прямую ;

е) интервал на луч ;

ж) отрезок на интервал .

1.5. Отобразить множество квадратных трехчленов , где – натуральные числа} на множество натуральных чисел, кратных 30. Существует ли биективное отображение?

1.6. Установить, являются ли эквивалентными множество А точек произвольного круга и множество В точек произвольного квадрата. (Указание: воспользоваться теоремой Кантора-Берштейна).

1.7. Установить, являются ли счетными следующие множества:

а) множество целых чисел Z;

б) объединение конечного числа счетных множеств;

в) объединение счетного множества счетных множеств;

г) множество рациональных чисел Q;

д) образ счетного множества при отображении f;

е) множество многочленов с целыми коэффициентами.

1.8. Показать, что множество действительных чисел имеет мощность континуум, т.е. R~.

1.9. Установить мощность множества иррациональных чисел I.

1.10. Показать, что множество точек квадрата имеет мощность континуум.

1.11. Задано отображение пространства в себя. Найти:

а) образ точки ;

б) образ биссектрисы первого и третьего координатных углов;

в) прообраз оси абсцисс.

1.12. Задано отображение . Найти образ функции . Указать два элемента из прообраза .

1.13. задано отображение: пространства в пространство многочленов. Найти

а) образ точки ;

б) прообраз функции ;

в) прообраз функции .

РАЗДЕЛ 2. Метрические пространства

 

Множество М называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие действительное число , удовлетворяющее условиям:

() (аксиома тождества);

() (аксиома симметрии);

() (аксиома треугольника).

Число называется расстоянием между элементами x и y. Условия () – () называются аксиомами метрики. Элементы х метрического пространства называются точками, а функция точек метрикой.

Для проверки аксиом метрики полезны следующие неравенства:

1) – неравенство треугольника для модуля;

2) ;

3) – неравенство Коши-Буняковского;

4) , где , – неравенство Гёльдера;

5) , где –

неравенство Минковского;

6) ;

7) – неравенство Шварца.

Множество всех точек х метрического пространства , удовлетворяющих условию называется открытым шаром с центром в точке и радиусом . В случае нестрогого неравенства шар называется замкнутым шаром .

Множество М называется ограниченным, если оно целиком находится в некотором шаре.

 

Таблица основных метрических пространств

 

Обозначение пространства	Элементы пространства	Формулы для метрик
	,
	,
	, для
	Функция , непрерывная на
	Функция , непрерывная на
	Функция , непрерывная на
	Функция , непрерывная на вместе со своими производными до n -го порядка	,

 

Задания к разделу 2.

2.1. Показать, что из аксиом метрики (М1) – (М3) следует неотрицательность метрики, т.е что , для любых .

 

2.2. Доказать, что для любых четырех точек x, y, u, v метрического пространства справедливы неравенства

а) ;

б) (неравенство четырехугольника).

 

2.3. Доказать, что для любых и любых таких, что выполняется неравенство (неравенство Юнга).

Указание: рассмотреть функции и на отрезке . Далее положить .

 

2.4. Доказать неравенство Гёльдера

, где .

Указание: воспользоваться неравенством Юнга.

 

2.5. Доказать неравенство Минковского

.

Указание: воспользоваться неравенством Гёльдера.

 

2.6. Являются ли метриками на прямой

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

 

2.7. Пусть М – множество точек окружности. Зафиксируем на окружности точку и определим расстояние между точками окружности А и В следующим образом

Является ли метрикой?

 

2.8. На множестве метрика задана так, что . Какие значения может принимать ?

 

2.9. Пусть множество двоичных наборов длины n. Расстояние между двоичными наборами и равно количеству позиций, на которых стоят различные числа. Записать формулу для и доказать, что является метрикой (метрикой Хэмминга).

 

2.10. Образует ли метрическое пространство множество точек плоскости, если расстояние между точками и определить так

а) ;

б) ?

 

2.11. Пусть М – множество населенных пунктов на берегу реки. Расстояние между пунктами А и В определим как время движения теплохода, имеющего собственную скорость v. Образует ли М метрическое пространство?

 

2.12. Задает ли метрику на пространстве многочленов формула:

а) ;

б) ?

 

2.13. Образует ли метрическое пространство множество полей максимальной длины, если за расстояние между полями х и y принять наименьшее число ходов, которое потребуется, чтобы перейти с поля х на поле у.

 

2.14. Пусть М – метрическое пространство с метрикой , а некоторое отображение множества А в М. Положим для любых двух точек

.

Установить, является ли метрикой, если отображение f

а) инъективно;

б) сюръективно;

в) биективно.

 

2.15. Будет ли пространство непрерывных на отрезке функций метрическим, если метрику определить как

а) , ;

б) ;

в) .

 

2.16. Для множества точек плоскости введены следующие три метрики:

;

;

.

Определить их геометрический смысл и найти расстояния между точками А и В в метрических пространствах , и :

а) ;

б) .

 

2.17. Изобразить на плоскости -окрестность точки для метрический пространств , и .

 

2.18. Указать на множестве клеток шахматной доски окрестности клетки радиуса 2. для метрик, введенных в задаче 2.13.

 

2.19. Найти множество точек пространства , равноудаленных от точек и .

 

2.20. Найти множество точек пространства , расстояние от каждой из которых до точки в 2 раза больше, чем расстояние до точки .

 

2.21. Найти расстояние между функциями и в метриках пространств:

а) ; б) ; в) .

 

2.22. Найти расстояние между функциями и в метриках пространств:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

 

 

РАЗДЕЛ 3. Сходимость и непрерывность в метрических