КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Условные вероятности и независимость
|
|
|
|
1 Определение. Условной вероятностью A по отношению к B наз число 
. В классическом случае: 
Пр. из урны, содержащей 2 белых шара и 1 черный, последовательно вынимают 2 шара, вычислить вероятность того, что второй белый при условии, что первый тоже белый.
На самом деле вероятность события 
. С помощью условных вер выражается вероятность произведения событий:
, 
,...,
вероятность произведения = произведению условных вероятностей.
2 Формула полной вероятности. Набор событий 
наз. полной группой, если они попарно несовместны, а их сумма достоверное событие.
Теорема 
3 Формула Байеса. Пусть полная группа, и произошло событие A, тогда можно вычислить условные вероятности:
.
Формула позволяет переоценить гипотезы 
после наступления события 
.
4 Независимость. События A и B наз. незав. если 
. Отсюда получаем 
, т.е. наступление 
не меняет вероятности .
Пр.: из колоды карт в 52 листа вынимают одну карту, пусть A=(дама), B=(пика), тогда 
, 
, 
, поэтому и независимые, так устроены карты!
Задача: если и незав., то противоположные к ним события тоже незав., док.
Опр. События 
наз. незав. в совокупности если
для всякого поднабора 
.
Пр.: из незав. любых двух не следует незав. в совокупности, игральная кость в форме тетраэдра и три краски.
Схема Бернулли повторения испытаний
Пусть p – вер события A в одном испытании и n>1, схемой Бернулли наз. серия из n независимых испытаний: вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Свяжем с этой серией набор из 1 и 0 в
зависимости от наступления или нет события A, и припишем такому набору вероятность 
, где m – число единиц в наборе. Такая вероятность выражает независимость испытаний в серии. Часто единицу наз успехом, а нуль неудачей. Распределение числа успехов дает выражение 
.
Приближенные соотношения в схеме Бернулли:
1) Формула Пуассона 
, 
( 
или 
)
2) Локальная формула Муавра – Лапласа,
.
3) Интегральная формула Муавра – Лапласа 
, 
, ( 
).
Пр.1: игральная кость бросается 12000 раз, найти вер того что число выпадений тройки будет заключено между 1900 и 2150,
.
Пр.2: сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 
, частота появления герба отличалась от вер 
не больше чем 
.
Пусть 
, найдем наименьшее число испытаний n из условия 
.
Пр.3: вер попадания в цель 0.1, сделано 100 выстрелов, в каких пределах с вер. 0.8, будет лежать относительная частота попаданий.
Пусть 
найдем 
из уравнения 
, 
, 
.
Случайные величины и их распределения.
1 Определения. Пусть 
фун, заданная на 
, наз СВ если 
прообраз 
является событием и имеет некоторую вер, при этом выражение 
наз функцией распределения (ФР) СВ .
Пр.: точку наудачу бросают внутрь круга радиуса R, вер. попадания ее в любую часть круга пропорциональна площади этой части. Обозначим через расстояние точки до центра круга. Найти ФР СВ .
2 Свойства ФР.
1) 
2) F не убывает
3) 
4) F непр. слева
5) 
· 3) 
, 
3 Дискретные случайные величины. Случайная величина наз дискретной, если ее множество значений конечное или счетное. Пусть 
значения , 
, тогда сумма 
. Множество всех пар 
наз. РР .ДСВ часто задается своим рядом распределения.
Пр.: проводится тестирование деталей, произведенных автоматом; вер., что деталь ст. = 0.9; тестирование проводится до 1−го появления ст. детали; пусть число проверенных деталей; построить РР .
Функцию распределения ДСВ можно представить в виде суммы накопленных вероятностей 
отсюда следует, что
1) график F имеет ступенчатую форму,
2) F возрастает скачками в точках 
,
3) величина скачка равна 
,
4) 
,
4 Непрерывные случайные величины. наз непрерывной если ее функция распределения выражается интегралом 
, 
наз плотностью распределения , будем считать ее кусочно-непрерывной.
Свойства функции плотности: 1) 
и 
в точках непр, 2) 
,
3) 
.
НСВ часто задается плотностью распределения.
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 1110; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!