Теорема (необходимые и достаточные условия существования асимптоты)

График функции у = f(x) имеет при х→ +¥ наклонную асимптоту у = тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела

, . (*)

Доказательство. Пусть график функции у = f(x) имеет асимптоту у = . Тогда f(x) = , где = 0. Следовательно,

,

.

Обратно. Пусть существуют пределы (*). Тогда из равенства можем записать также, что .

Это означает, что функция является бесконечно малой функцией при х→ +¥. Отсюда

f(x)=

и по определению прямая у = является наклонной асимптотой.

Пример. Рассмотрим функцию у = .

Так как =и =, то график

функции имеет наклонную асимптоту у = .

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 9852; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!