Случай переменного числа частиц

Плотность квантовых состояний. Распределение Ферми - Дирака. Функция распределения частиц по энергиям. Энергия Ферми. Вырожденный электронный газ, температура вырождения. Распределение Бозе - Эйнштейна. Фотоны и фононы. Вывод формулы Планка из квантовой статистики Бозе - Эйнштейна.

Лекции 11. Квантовые статистические распределения.

Плотность квантовых состояний.

Энергия электрона, находящегося в трёхмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками, описывается выражением:

,

где , , – длины сторон прямоугольной ямы. Энергия электрона меняется не непрерывно, а дискретно, т.к. числа n ₁, n ₂, n ₃ могут принимать только целочисленные значения. Однако, если энергия частицы существенно больше энергии основного состояния, то разница между значениями соседних уровней энергии D Е значительно меньше самого значения энергии , тогда можно считать, что энергия электрона меняется практически непрерывно (квазинепрерывно).

Введём трёхмерное пространство, вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей которого отложены квантовые числа n ₁, n ₂, n ₃ (пространство квантовых чисел). Точка этого пространства, координата которой задаётся набором целым чисел (n ₁, n ₂, n ₃), называется узлом. Каждому узлу в пространстве квантовых чисел соответствует определённое значение энергии. Одному значению энергии электрона может соответствовать несколько состояний (например, отличающихся проекциями спина электрона ). Узлу можно сопоставить элементарный кубик с единичной длиной рёбер: , так что объём этого кубика равен единице: .

Пусть N – количество узлов, в которых энергия электрона не превышает некоторое фиксированное значение E. Если ввести обозначение , то выражение для энергии примет вид: ,

откуда . Тогда число узлов N равно отношению объёмов этой восьмой части сферы соответствующего радиуса (в которой все три координаты неотрицательные { n ₁>0, n ₂>0, n ₃>0} (т.е. в одной восьмой части сферы)) к объёму элементарного кубика:

.

Ниже учтём, что объём потенциальной ямы (в обычном пространстве) равен: , а величина - величина (нерелятивистского) импульса. Поэтому

.

Теперь рассмотрим фазовое пространство, каждая точка в котором задаётся 6-ю координатами – это три пространственные координаты и три проекции импульса . Частица, находящаяся в потенциальной яме, в состояниях, энергия которых не превышает некоторое значение E, движется в некоторой области шестимерного фазового пространства.

Т.к. величина импульса частицы не превосходит величины , то в импульсной части фазового пространства эта область задается соотношением - т.е. является шаром радиуса p, объём которого . Поэтому полная область в 6-ти мерном фазовом пространстве является прямым произведением прямоугольной трёхмерной ямы в обычном пространстве и шара в импульсном пространстве. Следовательно, величина объёма общей области в фазовом пространстве равна: . Тогда общее количество узлов равно: .

Обозначим возможное количество состояний, приходящихся на один узел как . Например, для электрона , т.к. возможны два состояния с одинаковым набором квантовых чисел, но различающиеся проекциями спина. Тогда общее число состояний G со значением энергии не больше E, равно: .

Замечание. Минимальное количество квантовых состояний (при ) равно: . Тогда элементарный объём фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояние, можно определить как отношение фазового объёма к количеству состояний: . Учитывая соотношения неопределённостей Гейзенберга для координат и проекций импульсов, записанные в виде , , , получаем выражение для элементарного объёма фазового пространства, соответствующего одному квантовому состоянию: .

В общем случае для количества состояний справедливо соотношение: .

Плотностью квантовых состояний называется такая функция , зависящая от энергии, что количество квантовых состояний, энергия которых не превышает значения E ₀, определяется равенством: , т.е. .

Т.к. можно записать: , то в рассматриваемом случае получаем равенство:

.

Оказывается, что полученное выражение справедливо для любых частиц.

Пример.

1) Для электронов: и , тогда , поэтому

.

2) Для фотонов можно считать, что , что соответствует двум независимым направлениям поляризации э/м волны. Т.к. , то . Поэтому .§

В классической физике распределение частиц по энергиям в фазовом пространстве описывается распределением Максвелла-Больцмана: , где Е_К и U - кинетическая и потенциальная энергии частицы, Т - температура, k - постоянная Больцмана, A - нормировочный коэффициент.

Для вывода статистических распределений необходимо найти наиболее вероятное распределение частиц, т.е. распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов. По основному постулату статистической физики именно это распределение и является равновесным.

Предположим, что частицы не взаимодействуют друг с другом (модель идеального газа), а также, что все распределения, которые приводят к одной и той же суммарной энергии частиц, реализуются с одинаковой вероятностью.

Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц. Пусть число возможных состояний, в которых может находиться каждая из частиц, равно трём.

По классическим представлениям две частицы всегда различимы. Присвоим частицам номера 1 и 2. Если в каком-то состоянии частицы переставить просто местами, то получится новое состояние. Поэтому общее число состояний системы равно 9.

В квантовой механике тождественные частицы принципиально неразличимы. При перестановке местами тождественных частиц состояние системы не меняется. Поэтому занумеровать частицы нельзя. Если в одном состоянии может находиться только один фермион, то для бозонов никаких ограничений нет. Поэтому число состояний системы из бозонов равно 6, а из фермионов равно – 3.

Распределение Бозе-Эйнштейна.

Рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Пусть имеется длинный пенал, который может быть разделён на Z ячеек с помощью (Z -1) перегородок. Найдем число способов размещения N неразличимых частиц по ячейкам. В каждой ячейке может находиться произвольное число бозе-частиц. Будем считать, что система состоит из N частиц и (Z -1) перегородок, т.е. всего из N + Z -1 элементов. Общее число перестановок в системе из N + Z -1 элементов, равно (N + Z -1)!. Однако перестановки частиц (из-за их неразличимости) ничего не меняют. Число таких перестановок равно N!. Перестановки только перегородок тоже не приводят к новым распределениям, их число равно (Z -1)!. Таким образом, число способов W, с помощью которых N тождественных частиц могут быть распределены по Z ячейкам, равно

.

Это выражение определяет число способов, с помощью которых N бозонов могут быть распределены по Z состояниям. Каждый способ размещения частиц представляет собой определённое микросостояние системы. Следовательно, W - это число микросостояний, с помощью которых реализуется конкретное макросостояние системы. Т.е. W - это термодинамическая вероятность или статистический вес макросостояния системы.

В шестимерном фазовом пространстве уравнение , где E - энергия частицы, определяет изоэнергетическую поверхность, т.е. поверхность, все точки которой отвечают одному и тому же значению энергии частицы.

Слой с номером i между двумя поверхностями

и

будет тонким, если . В этом случае энергию всех частиц, попадающих в i -й слой, можно считать одинаковой и равной . Пусть число квантовых состояний для этого слоя равно , а количество частиц в пределах i - го слоя равно . Тогда статистический вес подсистемы, содержащей частиц, равен

.

Статистический вес всей системы равен произведению статистических весов отдельных её подсистем: .

Надо найти распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов, т.е. распределение, для которого статистический вес W максимален. Т.е. нужно найти максимум выражения при заданном числе частиц системы и полной энергии системы .

Вместо поиска экстремума выражения будем искать максимум энтропии S, которая связана со статистическим весом соотношением Больцмана :

.

Для дальнейших преобразований воспользуемся формулой Стирлинга, согласно которой при : . При и получаем:

или , где величина - не зависит от числа частиц .

Чтобы найти максимум энтропии для заданного числа частиц системы N и энергии E, применяем метод множителей Лагранжа, согласно которому необходимо построить вспомогательную функцию (где l₁ и l₂ – постоянные множители) и найти её экстремум: .

Необходимые условия экстремума имеют вид:

или

, откуда .

Отношение представляет собой среднее число частиц, приходящихся на одну ячейку фазового пространства, т.е. на одно состояние в i -ом энергетическом слое.

Поскольку , то слагаемым в числителе можно пренебречь. Тогда для получаем:

.

Найдем множители Лагранжа l₁ и l₂. Т.к. все частные производные функции F равны нулю, то это означает, что равен нулю дифференциал этой функции dF, т.е. . Но так как число частиц системы N постоянно, то dN =0 и, поэтому .

Предположим теперь, что рассматриваемая система получает в обратимом процессе некоторое количество теплоты d Q при неизменном объеме V. Поэтому изменение энтропии системы равно . Поскольку V = const, то d A =0 и , следовательно, откуда . Множитель l₁ запишем в виде: , где m - некоторая функция параметров состояния системы, в частности, температуры. Эту функцию называют химическим потенциалом. С учетом выражений для l₁ и l₂ выражение для принимает вид: .

Освобождаясь от индекса i, окончательно получаем распределение Бозе-Эйнштейна:

.

Оно описывает распределение бозе-частиц по энергиям и определяет среднее число бозе-частиц , находящихся в квантовом состоянии с энергией E. Величину называют также числом заполнения энергетического уровня с энергией E.

Пример. Получим формулу Планка для равновесного теплового излучения из распределения Бозе-Эйнштейна.

Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки которой нагреты до некоторой температуры Т. Это излучение представляет собой идеальный газ фотонов. Поскольку для фотонов , то .

Энергия излучения в узком энергетическом интервале от E до E + dE складывается из энергий отдельных фотонов. Плотность квантовых состояний g(E), т.е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов определяется выражением: . Произведение g(E) на dE дает число квантовых состояний, заключённых внутри интервала dE. Умножая это произведение на среднее число фотонов в данном состоянии и на энергию фотона E, получаем, что суммарная энергия фотонов в интервале dE равна: .

Данному энергетическому интервалу (от E до E + dE) соответствует частотный интервал, т.е. интервал частот от до . Получим выражение для той же самой энергии с помощью объёмной спектральной плотности энергии излучения , которая представляет собой энергию излучения в единичном частотном интервале, отнесённую к единице объёма. Т.к. энергия фотонов в частотном интервале равна , (V - объём полости), то

или ,

откуда приходим к формуле Планка:

.

Следует отметить, что именно с этой формулы началось становление квантовой механики.

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 888; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!