Рассмотрим эти операции подробнее

Знаки, объединяющие логические переменные в сложные высказывания, т.е. в логические функции, являются знаками логических действий, точнее логических связок, а не математических действий.

Совокупность значений аргументов логической функции называется набором (или точкой) и может обозначаться, в частности, как , где - равно нулю или единице (i=1, 2, …, n). Набор значений аргументов фактически представляет собой некоторое двоичное число. Каждому набору значений аргументов приписывается номер, равный двоичному числу, которое соответствует значению данного набора. Например, для четырех аргументов 0, 0, 0, 0 - нулевой набор; 0, 0, 0, 1 - первый набор; 0, 0, 1, 0 - второй набор; 1, 0, 1, 0 - десятый набор и т.д.

Таким образом, логическая функция (функция алгебры логики) это функция , которая принимает значение 0 или 1 на наборе логических переменных . Каждой логической функции данного набора аргументов, также принято приписывать номер: 0, 1, 2,…

Любую булеву функцию можно задать с помощью таблицы истинности, в которой всем возможным наборам значений двоичных переменных сопоставлены соответствующие им значения функции. Такая таблица называется таблицей истинности, поскольку она определяет истинность или ложность сложного высказывания в зависимости от истинности или ложности составляющих высказываний.

Для функций одной переменной может существовать всего четыре различные булевы функции , представленные в таблице 8.1.

Таблица 8.1.

Таблица истинности для функции одной переменной

Из таблицы следует, что функции и не зависят от аргумента и являются соответственно константами 0 и 1, а функция повторяет значение аргумента, т.е. . Функция называется отрицанием или инверсией переменной х.

Для функций двух переменных может существовать 16 (и только 16) различных функций. Таблица истинности этих функций приведена ниже.

Таблица 8.2.

Таблица истинности для функций двух переменных

Логическую связь между логической функцией и ее аргументами всегда можно представить в виде простейших логических операций. К числу таких операций относятся:

- отрицание (операция «НЕ»);

- логическое сложение (операция «ИЛИ»),

- логическое умножение (операция «И»),

Отрицанием называется такая логическая связь между входной логической переменной х и выходной логической переменной у, при которой у истинно только тогда, когда х ложно, и, наоборот, у ложно только тогда, когда истинно х.

С помощью логико-математической символики логическая функция «НЕ» переменной у записывается как (читается - «у есть не х»). Если, например, х - утверждение о наличии сигнала в точке схемы ЦА, то у соответствует утверждению - сигнал отсутствует.

Таблица 8.3.

Операция «НЕ»

Функция принимающая значение, обратное значению х, - логическое отрицание (инверсия), или функция «НЕ» (NOT), может обозначаться одним из следующих способов:

.

Логическим сложением нескольких переменных называется такая функция, которая ложна только тогда, когда одновременно ложны и все слагаемые переменные. Таблица истинности операции логического сложения приведена ниже, см. табл. 8.4.

Таблица 8.4.

Операция «ИЛИ»

Логическое сложение также называется дизъюнкцией и обозначается следующим образом:

.

Например, выражение читается следующим образом: «есть или ».

Логическим умножением нескольких переменных называется такая функция, которая истинна только тогда, когда одновременно истинны все умножаемые переменные. Таблица истинности операции логического умножения приведена ниже, см. табл. 8.5.

Таблица 8.5.

Операция «И»

Логическое умножение также называется конъюнкцией и обозначается следующим образом:

.

Например, выражение читается следующим образом: «есть и ».

Функция «НЕ-И» (штрих Шеффера NAND)- это функция, которая ложна тогда, когда все переменные истинны. Условное обозначение этой функции:

.

Это читается следующим образом: «функция ложна, т.е. равна 0, когда оба аргумента и одновременно истинны, т.е. равны единице, и функция истинна, т.е. равна единице, когда или оба аргумента одновременно ложны, или же хотя бы один из них ложен» (табл. 8.6.).

Таблица 8.6.

Операция «Штрих Шеффера»

Функция «НЕ-ИЛИ» (стрелка Пирса или NOR)- это функция, которая истинна только тогда, когда все переменные ложны. Условное обозначение этой функции:

.

Это читается следующим образом: «функция ложна, т.е. равна 0, когда хотя бы один из ее аргументов или истинен, или же оба, одновременно истинны, т.е. равны единице, и функция истинна, т.е. равна единице, когда оба аргумента одновременно ложны» (табл. 8.7.).

Таблица 8.6.

Операция «стрелка Пирса»

Функция «ЕСЛИ-ТО» (IF-THEN импликация) это функция, которая ложна тогда и только тогда, когда истинно и ложно. Аргумент называется посылкой, a – следствием. Ее условное обозначение:

.

Таблица 8.7.

Операция «Если-То»

Функция исключающее «ИЛИ» (XOR)- это функция , которая обозначается знаком . Эта операция реализует функцию неравнозначности, т.е. фактически реализуется процедура суммирования по модулю 2, которая обозначается знаком :

.

Таблица 8.8.

Операция «Исключающее ИЛИ»

Пример 1: Сложить по модулю 2 двоичные числа 10 и 11.

Сложение выполним поразрядно:

1) разряд единиц: 0 1 = 1;

2) разряд десятков: 1 1 = 0.

Таким образом, 10₂ 11₂=01₂.

Таблица сложения десятичных чисел по модулю 10 приведена ниже (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

Пример 2: Сложить по модулю 10 десятичные числа 59 и 152.

Сложение выполним поразрядно:

1) разряд единиц: 92 = 1;

2) разряд десятков: 55 = 0;

3) разряд сотен: 01 = 1.

Таким образом, 59152 =101.

Эквиваленция (или эквивалентность) — двуместная логическая операция. Обычно обозначается символом ≡ или ↔.

Эквиваленция — это сокращённая запись для выражения

Таблица 8.8.

Операция «Эквиваленция»

Таким образом, высказывание означает «то же самое, что », «эквивалентно », «тогда и только тогда, когда ».

Не следует путать эквиваленцию — логическую операцию с эквивалентностью — бинарным отношением. Связь между ними следующая:

Логические выражения X и Y эквивалентны в том и только в том случае, когда эквиваленция истинна при всех значениях логических переменных.

Из всех приведенных выше определений ясно, что в алгебре логики все знаки действий: или &, или +, , и т.д., в отличие от обыкновенной алгебры, являются знаками логических связок, т.е. логических действий, а не знаками арифметических действий.

В таблице 8.9 приведены примеры всех элементарных логических функций от двух переменных и .

Таблица 8.9.

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 502; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!