Якщо додаються незалежні випадкові величини, то щільність розподілу суми двох незалежних неперервних випадкових величин знаходиться за формулою

Приклад 21.4. Скласти композицію двох рівномірних законів, якщо вони задані відповідно в інтервалах (1, 3) та (2, 5).

Розв’язання. За умовою задачі потрібно знайти закон розподілу суми двох незалежних випадкових величин та , якщо:

Знаходимо функцію розподілу випадкової величини за формулою (21.2). Відомо, що для незалежних випадкових величин виконується рівність: Отже, де D_z – область, для якої x+y<z і жодна з функцій не набуває нульових значень. Область інтегрування буде різною, залежно від того, в якому з проміжків , знаходяться значення z. Області інтегрування показані на рисунках:

1) при z (рис. 21.4) ;

2) при 3< z (рис. 21.5)

;

3) при (рис. 21.6)

;

4) при 6< z (рис. 21.7)

5) при z >8

Рис.21.4. Рис.21.5.

Рис.21.6. Рис.21.7.

Остаточно маємо:

Щільність розподілу ймовірностей визначимо диференціюванням по z:

Графічно функції , та зображені на рис.21.8.

Рис.21.8.

Приклад 21.5. Скласти композицію двох законів розподілу Пуассона з параметрами та відповідно.

Розв’язання. Нехай випадкові величини та розподілені за законом Пуассона з параметрами та , тоді за формулою (21.4)

.

Отже, закон Пуассона є прикладом стійкого закону розподілу.

21.5. Числові характеристики функцій кількох випадкових аргументів

Питання про находження числових характеристик функцій кількох випадкових аргументів розв’язується аналогічно тому, як знаходились числові характеристики функції одного випадкового аргументу.

Якщо випадкова величина , де випадковий вектор має щільність розподілу ймовірностей , то числові характеристики випадкової величини знаходимо за формулами

;

.

У випадку ці формули набувають вигляду

; (21.5)

. (21.6)

Аналогічні формули справедливі для функцій від дискретно розподілених випадкових величин:

;

.

Отже, для знаходження числових характеристик функцій кількох випадкових аргументів також необов’язково знаходити закон розподілу функції.

Приклад 21.6. Індикатором кругового огляду навігаційної станції є коло з радіусом R. Внаслідок перешкод може з’явитися пляма в будь-якій точці цього кола. Знайти математичне сподівання та дисперсію відстані центра плями до центра кола.

Розв’язання. Випадкова відстань r від центра кола до плями записується через координати випадкової точки так: .

Система випадкових величин має рівномірний розподіл. Отже,

За формулою (21.5) обчислюємо:

.

Дисперсію r знайдемо за формулою (21.6):

.

Наведені формули дають можливість строго довести всі властивості математичного сподівання та дисперсії випадкової величини. Доведемо деякі з них.

1. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків: .

Доведення. Нехай та – неперервні випадкові величини з сумісною щільністю розподілу . За формулою (21.5) маємо

.

2. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань: .

Доведення. Нехай та – незалежні неперервні випадкові величини з сумісною щільністю розподілу , тоді . За формулою (21.5) маємо

Доведіть всі інші властивості математичного сподівання та дисперсії самостійно.