Способ. Метод Гаусса

	Запишем расширенную матрицу этой системы уравнений, которая состоит из элементов уравнений данной матрицы. Наша задача: свести эту матрицу к ступенчатой, т.е. добиться того, чтобы в первой строке остались все четыре элемента, во второй строке - три, в третьей - два. Для обнуления элементов первого столбца работать будем с первой строкой, для обнуления элементов второго столбца - со второй строкой. Обнулять элементы третьего столбца нет необходимости. Исходную матрицу можно изменять, меняя местами строки. Работать лучше с матрицей у которой первый элемент строк и столбцов равен одному. Начнем приводить матрицу к ступенчатому виду.
	1 шаг: Обнулить элементы первого столбца второй и третьей строки. Для этого нам необходимо работать с первой строкой. В первой строке первого столбца стоит элемент 1. Найдем коэффициент, на который необходимо домножить эту единицу, чтобы при сложении с первым элементом второй строки в результате получился ноль. Т.е. необходимо определить на что надо домножить единицу, чтобы при сложении с числом 2 в результате получился ноль. Этим числом является (-2), т.к. 1(-2)+2=0. Далее необходимо продолжить этот процесс до конца строки, т.е. каждый элемент первой строки домножить на (-2) и прибавить элемент второй строки: (-1)(-2)+1=3 (второй столбец) и 2(-2)+0=-4 (третий столбец) и 5(-2)+4=-6 (четвертый столбец).
	Теперь обнулим первый элемент третьей строки. Для этого нам необходимо опять работать с первой строкой. В первой строке первого столбца стоит элемент 1. Найдем коэффициент, на который необходимо домножить эту единицу, чтобы при сложении с первым элементом третьей строки в результате получился ноль. Т.е. необходимо определить на что надо домножить единицу, чтобы при сложении с числом 3 в результате получился ноль. Этим числом является (-3), т.к. 1(-3)+3=0. Далее необходимо продолжить этот процесс до конца строки, т.е. каждый элемент первой строки домножить на (-3) и прибавить элемент третьей строки: (-1)(-3)+5=8 (второй столбец) и 2(-3)+1=-5 (третий столбец) и 5(-3)+16=1 (четвертый столбец).
	2 шаг: Обнулить элемент второго столбца третьей строки. Для этого нам необходимо работать со второй строкой. Во второй строке первого столбца стоит элемент 0, его мы пропускаем и переходим ко второму столбцу. Там элемент равен 3. Найдем коэффициент, на который необходимо домножить эту тройку, чтобы при сложении со вторым элементом третьей строки в результате получился ноль. Т.е. необходимо определить на что надо домножить 3, чтобы при сложении с числом 5 в результате получился ноль. Этим числом является дробь (-8/3), т.к. 3(-8/3)+8=0. Далее необходимо продолжить этот процесс до конца строки, т.е. каждый элемент первой строки домножить на (-8/3) и прибавить элемент третьей строки: -4 (-8/3)-5=17/3 (третий столбец) и -6*(-8/3)+1=17 (четвертый столбец). Итак, мы свели матрицу к ступенчатому виду.

Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, например, для системы

матрица выглядит так:

Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае:

. Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица система записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями.

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу

. В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них:

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Нулевая строка – это строка, в которой одни нули.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу

. Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2:

Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля.

Рассмотрим нашу матрицу из практического примера:

. Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2:

и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2:

Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2:

Как видно, строка, которую прибавляли – не изменилась. Всегда меняется строка, к которой прибавляют.

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

.
Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку:

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2:

, и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0.

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: