Произвольные последовательности.

Рассмотрим и произвольную возрастающую последовательность , ().

Выберем из элементы с номерами и расположим их в порядке возрастания номеров. Полученную таким образом новую последовательность принято называть подпоследовательностью исходной последовательности . Если – подпоследовательность сама есть последовательность. Ясно, что .

♦ Утверждение 10.3. Если последовательность сходится к пределу а, то любая её подпоследовательность сходится к тому же самому пределу а.

♦ Утверждение 10.4. Если все подпоследовательностинекоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу а (к этому же пределу а сходится и вся последовательность).

♦ Утверждение 10.5. Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности представляет собой также бесконечно большую последовательность.

Определение 10.4. Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если в любой -окрестности точки хсодержитсябесконечно много элементов этой последовательности.

Определение 10.5. Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к пределу х.

♦ Утверждение 10.6. Определения 10.4 и 10.5 эквивалентны.

Доказательство. Пусть в любой -окрестности точки х содержится бесконечно много элементов . Рассмотрим совокупность -окрестностей точки х, для которых последовательно равно . В первой из этих окрестностей выберем элемент , во второй , где и т.д.

, где .

Этот процесс будем продолжать неограниченно, т.к. в -окрестности точки x лежит бесконечно много элементов последовательности . В результате мы получим подпоследовательность последовательности, которая сходится к x, т.к. . ■

♦ Лемма 10.1. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.

Доказательство. Пусть сходится: , тогда а – предельная точка, т.к. любая подпоследовательность имеет предел а при .

Докажем единственность предельной точки a методом от противного.

Пусть b – предельная точка, тогда подпоследовательность при , но любая подпоследовательность имеет предел а и, таким образом, b = a. ■

J Пример 10.1. Последовательность имеет две предельные точки 0 и 2, то есть предела не имеет. J

♦ Теорема 10.3 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Т.к. последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае, из этой последовательности можно выделить подпоследовательность такую, что . ■

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 543; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!