Дивергенция и ротор

Пусть – дифференцируемое в области векторное поле.

Определение. Скаляр, обозначаемый и равный

,

называется дивергенцией векторного поля в точке .

Применяя понятие дивергенции векторного поля, сформулируем теорему (формулу) Остроградского Гаусса в векторной форме.

Теорема. Пусть – непрерывно дифференцируемое векторное поле в замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью . Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса

,

где поток векторного поля вычисляется через замкнутую поверхность , ориентированную внешней нормалью.

Таким образом, поток векторного поля через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

Из теоремы Остроградского Гаусса в векторной форме следует инвариантное определение дивергенции векторного поля.

Определение. Пусть в области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью , задано непрерывно дифференцируемое векторное поле , и пусть – внутренняя точка области . Тогда дивергенцией векторного поля в точке называется скаляр, обозначаемый и равный

,

где и – соответственно диаметр и объем области .

Оба определения дивергенции векторного поля эквивалентны.

Рассмотрим физический смысл дивергенции векторного поля на примере поля скоростей стационарного движения жидкости. Если положить в формуле Остроградского-Гаусса , где – объемная плотность жидкости, то можно записать

.

Правая часть этой формулы определяет количество жидкости, вытекающей (или втекающей) в единицу времени через замкнутую поверхность , ограничивающую область , в направлении единичной нормали . Если , то в соответствии с формулой равна нулю правая часть этого равенства, а, следовательно, количество вытекающей из жидкости уравновешивается количеством втекающей жидкости. Если , то количество жидкости вытекающей из в единицу времени, преобладает над количеством втекающей жидкости за тот же промежуток времени. В этом случае можно говорить о наличие «источников» в области . Если же , то в области имеются «стоки». Таким образом, дивергенция векторного поля характеризует среднюю удельную обильность «источников» и «стоков» в области .

С другой стороны, изменение потока векторного поля через поверхность должно сопровождаться изменением количества жидкости в области , и если правая часть равенства положительна (отрицательна), то в соответствии с законом сохранения массы количество жидкости, находящееся в области , уменьшается (увеличивается) в единицу времени ровно на величину потока. Следовательно,

.

Таким образом,

.

Применяя к этому выражению теорему о среднем для тройного интеграла, получаем так называемое уравнение непрерывности

.

Уравнение непрерывности справедливо также для плотности электрического заряда, если под понимать объемную плотность заряда, движущегося со скоростью .

Пусть в области заданы произвольные непрерывно дифференцируемые скалярное поле и векторные поля и . Пусть также – произвольный постоянный вектор. Тогда справедливы следующие свойства дивергенции.

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Определение. Ротором (или вихрем) векторного поля в точке называется вектор, обозначаемый (или ) и равный

,

где частные производные вычислены в этой точке.

Ротор векторного поля часто записывают в виде символического определителя

.

Сформулируем теорему (формулу) Стокса в векторной форме.

Теорема 5.3.1. Пусть в области определено непрерывно дифференцируемое векторное поле , и в этой области расположена положительно ориентированная гладкая поверхность , ограниченная кусочно-гладким контуром . Тогда

.

Следовательно, циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора поля через поверхность , натянутую на этот контур.

Формула Стокса в векторной форме связывает циркуляцию и поток векторного поля. Она позволяет свести вычисление циркуляции векторного поля по контуру к вычислению потока поля через незамкнутую поверхность , опирающуюся на контур . От поверхности требуется только то, чтобы она опиралась на контур и не выходила за пределы области . Поэтому, применяя формулу Стокса для вычисления циркуляции векторного поля, поверхность выбирают в наиболее подходящей для вычисления форме.

В случае плоского векторного поля из формулы Стокса следует формула Грина, а выражение для ротора принимает вид

. (5.3.2)

Прежде чем сформулировать инвариантное определение ротора векторного поля, введем поверхностный интеграл следующего вида:

,

где замкнутая поверхность , ограничивающая область , ориентирована внешней единичной нормалью .

Определение. Пусть в области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью , задано непрерывно дифференцируемое векторное поле , и пусть – внутренняя точка области . Тогда ротором (вихрем) векторного поля в точке называется вектор, обозначаемый и равный

,

где и – соответственно диаметр и объем области .

Можно доказать эквивалентность двух определений ротора.

Выясним физический смысл ротора на примере поля скоростей точек вращающегося твёрдого тела вокруг оси с постоянной угловой скоростью . Из механики абсолютно твердого тела известно, что векторное поле скоростей точек этого тела можно представить в виде

,

где – вектор постоянной угловой скорости; – радиус- вектор точки .

Найдём ротор поля скоростей :