Необходимый признак экстремума (доказать)

Определение экстремума функции одной переменной.

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции f, если существует такая окрестность , что для всех выполняется неравенство .

Определение 2. Точка называется точкой минимума функции f, если существует такая окрестность , что для всех выполняется неравенство .

Определение 3. Точки минимума и максимума функции f называются точками экстремума функции f. Значение функции в точке экстремума называется экстремумом функции.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если точка является точкой экстремума функции f, определенной в некоторой окрестности точки , то либо производная не существует, либо .

Доказательство. Пусть существует и f принимает в точке максимум. Заметим, что при имеем . Следовательно, если , то , а если , то . Тогда , . Так как существует , то односторонние пределы равны. Это возможно лишь в случае . Аналогично рассматривается случай минимума функции f в точке . Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 3208; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!