Случайные погрешности

Формально абсолютную погрешность измерения физической величины Х будем представлять в виде суммы двух составляющих D Х = D_с + , где - случайная составляющая относительной погрешности 120. Графическая интерпретация сказанного приведена на рисунке 2.1.

Случайная погрешность здесь определяется разностью между результатами однократного наблюдения Х_i и математическим ожиданием результатов МХ:

D= Х_i – М(Х) (2.5)

Рис. 2.1. Слагаемые абсолютной погрешности i -го наблюдения величины X

Случайные величины Х_i и их погрешности D° могут быть описаны с помощью интегральной и дифференциальной функции распределения, графики которых изображены на 2.2

Рис. 2.2. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функция распределения

Интегральная функция распределения результатов наблюдений определяет вероятность (Р) нахождения результатов наблюдения Х_i в диапазоне от - ¥ до некоторого текущего значения Х:

. (2.6)

Дифференциальная функция (плотность вероятностей) чаще применяется в метрологии для описания случайных погрешностей. Взаимосвязь этих двух функций можно представить в виде:

. (2.7)

Для характеристики случайной погрешности необходимо задавать не только значение погрешности (доверительный интервал), но и значение вероятности. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.

На рис. 2.3, а показан графический метод определения вероятности попадания результатов наблюдений в заданный интервал X₁-X₂ по интегральной функции распределения:

Р(X₁ < X £ X₂) = F(X₂) – F(X₁). (2.8)

На рис. 2.3б показано то же самое, но с помощью распределения P(X):

. (2.9)

Рис. 2.3. Графический метод определения вероятности

показаний результатов измерений

Приведенные графические пояснения понятий доверительного интервала и доверительной вероятности в дальнейшем помогут в использовании таблиц, связывающих значения этих величин между собой, при обработке результатов наблюдений.

Кривая распределения Р (Х) рис. 2.3б соответствует нормальному закону распределения погрешностей (НЗР). НЗР называют ещё законом распределения Гаусса. Этот - закон один из наиболее распространенных законов распределения погрешностей (это подтверждается центральной предельной теоремой теории вероятности) и широко применяется при оценке результатов измерений.

При НЗР дифференциальная функция имеет вид

^. (2,10)

Функция распределения нормальной случайной величины определяется выражением:

. (2.11)

При НРЗ дифференциальная функция имеет графический вид, показанный на рис.2.4.

Рис.2.4. Дифференциальные функции НЗР

Из рис. 2.4 и уравнения 2.4 следуют выводы:

1) плотность вероятностей имеет максимум при Х=М(Х)

2) с ростом погрешности = Х_i – М (Х), независимо от знака (функция четная), плотность вероятности стремится к нулю;

3) с увеличением среднего квадратического отклонения (d) вероятность больших отклонений увеличивается, т.е. результаты наблюдений рассеиваются в более широком диапазоне.

Из рис. 2.4 видно, что кривая распределения меняется в зависимости от среднего квадратического отклонения (СКО). Если выразить погрешность в долях от СКО (d), то получим кривую нормированного НЗР с аргументом

T = /d. (2.12)

Эта кривая описывается выражением

; (2.13)

оно имеет место при условии, если

.

При этом интегральная функция нормального нормированного распределения имеет вид:

, (2.14)

где аргумент Z так же, как и в (2.12), определяется отношением:

Z = /d. (2.15)

Вид функции Ф(Z) показан на рисунке 2.5, а значения Ф(Z) в виде фрагментов из специальной таблицы – в табл. 2.1.

Рис. 2.5. Интегральная функция нормированного

нормального распределения

В качестве примеров практического использования данных таблицы 2.1 рассчитаем значения доверительной вероятности Р для наиболее распространенных значений T = /d: t = 1; t = 2; t = 3, т.е. для погрешностей, равных ±d; ±2d; ±3d, по формуле:

P ₁ = Ф(Z = 1) – Ф(Z = -1) = 0,8413 – 0,1587 = 0.6826,

P ₁ = Ф(Z = 2) – Ф(Z = -2) = 0,9772– 0,0228 = 0.9544,

P ₁ = Ф(Z = 3) – Ф(Z = -3) = 0,99865 – 0.00135 = 0.9973.

Таблица 2.1

Интегральная функция нормированного нормального распределения:

.

Эти же значения Р можно получить, используя выражение:

Р = 2Ф(Z) – 1. (2.16)

Например: Р ₁ = 2Ф(Z = 1) – 1 = 2*0,8413 – 1 = 0,6826.

Если для расчета Р использовать нормированную функцию Лапласа, то Р находим по выражению

Р =2Ф₀(Z). (2.17)

Эта функция определяется интегралом от нормальной плотности вероятности в пределах 0... Z:

. (2.18)
Значения интеграла Ф₀(Z) приведены в таблице 2.2 при t = Z в пределах от 0 до 5.

Таблица 2.2

Таблица значений интеграла

Все вышеизложенное относительно Р и границ случайных погрешностей, указанных в долях СКО (d), справедливо при заранее известном d и НЗР, т.е. при предельном СКО, когда n à ¥ (большая выборка наблюдений).

На практике имеют место незначительные выборки порядка n = 20...30 наблюдений. При этом готовое значение d неизвестно, и требуется по ограниченному количеству наблюдений рассчитать (оценить) эмпирическое значение СКО, которое в дальнейшем будем обозначать как (оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдений) и находить из выражения

, (2.19)

где – среднее арифметическое результатов n наблюдений.

Оценка может быть использована при необходимости характеризовать точность применяемого метода измерения.

Для оценки же погрешности значения Х, полученного в результате обработки измерений, следует пользоваться (оценкой среднего квадратического отклонения результатов измерения), которая определяется из уравнения

,

где – результат измерения (оценка математического ожидания).

Учитывая ограниченное число наблюдений, можно определить с заданной доверительной вероятностью Р доверительные границы для истинного значения измеряемой величины с помощью распределения Стьюдента t_SГ, при этом доверительная граница случайной погрешности будет найдена по выражению:

, (2.20)

где t_SГ находим по таблице 2.3.

Значение коэффициента t_SГ для случайной величины t_S, имеющей распределение Стьюдента с n -1 степенями свободы, определяется из условия P [| t_S |< t_SГ] = P _дов

Распределения Стьюдента в зависимости от n и P

Таблица 2,3

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 322; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!