Предел и алгебраические операции

Пусть даны две последовательности {x_n}и {у_n}.

{x_n+у_n}: x₁+y₁,x₂+y₂,… - сумма последовательностей {x_n}и {у_n}.

{x_n×у_n}: x₁×y₁,x₂×y₂,… - произведение последовательностей {x_n}и {у_n}.

- отношение, {ax_n}- произведение последовательности на число.

Теорема 1. Пусть даны последовательности {x_n}и {у_n} и =а, =b, тогда сумма {x_n+у_n} также является сходящейся и =a+b.

Доказательство. Оценим

Т.к. =а, то ,

Т.к. =b, то

Положим N=max(N₁,N₂): и .

Следовательно, , т.е. =a+b ч.т.д.

Теорема 2. Пусть даны последовательности {x_n}и {у_n} и =а, =b, тогда произведение {x_n×у_n} также является сходящейся и =a×b.

Доказательство.

Т.к. {x_n} сходящаяся, то она ограничена. Следовательно,

Подберем с таким образом, чтобы

Т.к. =а, то

Т.к. =b, то

Положим N=max(N₁,N₂): и .

Тогда , т.е. =a×b ч.т.д.

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 303; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!