Геометрическое и физическое подобие

Напомним, что геометрически подобными фигурами считаются такие, у которых отношение сходственных геометрических размеров остается постоянным при изменении их размеров. Это дает возможность преобразования одной фигуры в другую, подобную ей фигуру. Условия такого преобразования были сформулированы в 1872 г. Феликсом Клейном. При этих преобразованиях инварианты этих фигур, характеризующие их форму, остаются неизменными. Любая геометрия это теория инвариантов особой группы преобразований. Следуя этому, в теории подобия нужно рассматривать группу преобразований подобия в инварианты подобия.

В классической теории геометрического подобия группа преобразований подобия включает себя изменение масштаба, а инвариантом является форма фигуры. Между элементами геометрически подобных фигур можно установить взаимно - однозначное соответствие, и, следовательно, они изоморфны между собой. Учитывая это, можно рассматривать перенос представлений о геометрическом подобии в область физических явлений как попытку создания прикладной теории изоморфных (или гомоморфных) объектов. Следуя Ф. Клейну, такую теорию нужно строить как теорию инвариантов группы физически подобных преобразований. Чтобы теория стала прикладной, в нее надо включить выработку правил (алгоритмов):

1) Нахождения инвариантов указанных преобразований для «натуры», которую в дальнейшем будем называть оригиналом.

2) Сохранения их неизменности в модели.

Таков первоначальный план теории подобия и моделирования.

Уточним понятие «физически подобные преобразования». В математике преобразование понимается, как установление соответствия между элементами двух множеств. При этом каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент другого (или того же) множества из семейства множеств, произвольной природы. Геометрически подобное преобразование состоит, в изменении всех расстояний в постоянном отношении К. Будем называть это соотношение коэффициентом подобия. Таким образом, преобразуемой величиной здесь оказывается линейный размер или протяженность. При подобном преобразовании физических явлений в объекте необходимо изменять не только пространственные переменные, но и все физические величины, существенные для моделируемого явления. При этом для каждой физической величины необходимо вводить свой коэффициент подобия. Результат такого преобразования - объект, физически подобный преобразуемому, должен соответствовать принципу математического изоморфизма: математическое описание модели и объекта должны быть одинаковыми. Поясним эти положения примером.

Пример:

Пусть оригинал – механическая система, поведение которой описывается вторым законом Ньютона:

(2.1)

где F(t) - внешняя сила, действующая на систему;

m –масса системы

w – скорость,

t – время,

Модель, математически изоморфная оригиналу, также должна подчиняться уравнению (2.1). Поэтому, для сопоставляемой пары объектов мы можем записать следующую пару уравнений:

; ; (2.2)

Здесь индекс _«о» относится к объекту, а индекс _«М» к модели. Введем коэффициенты подобия для всех величин, входящих в уравнения (2.2):

(2.3)

Заменим все переменные в уравнении (2.2) для модели на переменные для объекта, выраженные через коэффициенты подобия К:

(2.4)

Уравнение (2.4) эквивалентно уравнению модели, приведенному выше. Оно будет тождественно уравнению оригинала, если станет математически изоморфным оригиналу, если при разработке модели удастся обеспечить равенство:

Представим себе, что создается несколько разномасштабных моделей М₁, М₂,… изучаемой системы. Тогда нетрудно показать простыми выкладками, что в этом случае будут соблюдаться соотношения:

(2.5)

Получена специфическая функция (обозначим ее Ne от Newton), которая является инвариантом нашего подобного преобразования, инвариантом физического преобразования систем, подчиняющихся уравнению (2.1)

(2.6)

Эта функция представляет отношение важных механических характеристик моделируемой системы: импульса силы F×t к импульсу тела m×w. Заменив в формуле (2.6) время t через расстояние l и скорость w, t=l/w, можно получить иную форму записи инварианта подобия:

(2.7)

В этом случае этот инвариант обозначает отношение работы силы F на расстоянии l к удвоенной кинетической энергии системы . Работа численно равна изменению энергии, и это отношение имеет смысл отвлеченного безразмерного числа, характеризующего убыль энергии в долях от ее запаса в движущейся системе.

Из рассмотренного примера можно сделать три вывода:

1). Инварианты физического подобия представляют собой специфические комбинации из переменных – физических характеристик оригинала, степенные одночлены, например следующего вида:

(2.8)

2) Указанные комбинации переменных можно интерпретировать как отношение двух фундаментальных величин одинаковой размерности, как меру соотношения интенсивностей, сил, энергий и т.д.

3) Инварианты физического подобия представляют собой отвлеченные безразмерные числа.

В теории подобия указанные инварианты называются критериями подобия.

Первый из выводов в теории подобия формулируется в виде так называемой первой теоремы подобия:

Инвариантами преобразования физического подобия являются критерии подобия.

Задачу моделирования можно подразделить на две:

1. Разработка модели изучаемого процесса или аппарата.

2. Собственно моделирование, которое включает в себя:

а) получение искомых результатов с помощью модели.

б) перенос этих результатов с модели на оригинал

Теория подобия формулирует основные приемы и правила указанных

этапов моделирования:

1. Определить критерии подобия, существенные для моделируемого объекта в данной ситуации.

2. Сформулировать задачу моделирования, соответствующую общей задаче разработки объекта.

3. Оценить пределы изменения выявленных критериев подобия для разрабатываемого объекта.

4. Сформулировать в критериальной форме модель, обеспечивающую равенство определяющих критериев в модели и в объекте.

(2.9).

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1421; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!