Звуковое сопровождение лекции. Матрица называется обратной матрице , если

Обратная матрица

Определение

Матрица называется обратной матрице , если .

Отсюда следует, что и – квадратные.

Определение

Если , матрица называется невырожденной, в противном случае называется вырожденной матрицей.

Теорема (существования и единственности обратной матрицы)

Для всякой невырожденной матрицы существует и единственна обратная матрица

,

где – присоединенная матрица (составлена из алгебраических дополнений элементов матрицы : каждый элемент матрицы является алгебраическим дополнением соответствующего элемента матрицы).

Доказательство

1) Существование

По условию, – невырожденная матрица, следовательно, числовой множитель в формуле определен. Составление матрицы и ее транспонирование возможно для любой квадратной матрицы. Таким образом, матрица существует для любой невырожденной матрицы.

Является ли построенная матрица обратной к ?

Рассмотрим произведение . При умножении -й строки первой матрицы на -й столбец второй получим (воспользовались свойствами 8°, 9° определителей, см. Лекцию 1). Окончательно получим,

.

Аналогично вычисляется произведение .

Таким образом,

(по определению обратной матрицы).

2) Единственность

Допустим, что кроме существует , построенная отличным от указанного выше способом (ясно, что при использовании формулы получается одна единственная матрица). Составим выражение . Преобразуем его, используя свойства операций над матрицами и определение обратной матрицы .

Таким образом, .

Умножим это равенство слева на обратную матрицу, например, на :

, преобразуем

,

,

, что и требовалось доказать.

Пример

, –?

Решение

1. –?

существует единственная .

2. –?

.

3. –?

.

4. –?

.

Пример 10(для самопроверки)

Найдите матрицу, обратную к матрице .

Ответ

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 266; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!