Электрические цепи

Электротехника

1. Основные понятия электрических цепей

Электрической цепью называется совокупность электротехнических устройств, образующих путь для прохождения электрического тока. К электротехническим устройствам относятся:

· источники электромагнитной энергии (генераторы) или источники электрических сигналов (гальванические элементы, аккумуляторы);

· приемники или потребители;

· устройства передачи и преобразования электрической энергии (кабели, провода и трансформаторы).

Источники электрической энергии относятся к группе активных элементов электротехнических устройств. Если R ₀ = 0 и Е = const, то источник называется идеальным. Внутреннее сопротивление источника тока R _вн во много раз больше сопротивления нагрузки. Аккумуляторная батарея по своим параметрам близка к идеальному источнику ЭДС.

К группе пассивных элементов относятся: активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С.

Условные обозначения источников электрической энергии и элементов электрических цепей приведены ниже:

Условное обозначение	Элемент
	Идеальный источник ЭДС Е – электродвижущая сила, Е = const R 0 = 0 – внутреннее сопротивление
	Идеальный источник тока I = const R вн – внутреннее сопротивление источника тока, R вн >> R наг
	Активное сопротивление R = const
	Индуктивность L = const
	Емкость C = const

В электротехнических устройствах одновременно протекают три энергетических процесса:

1. В активном сопротивлении в соответствии с законом Джоуля – Ленца происходит преобразование электрической энергии в тепло (P, I – мощность и ток в цепи постоянного тока) или = u ² g (р, i, u – мгновенные значения активной мощности, тока и напряжения в цепи переменного тока, g – активная проводимость или величина, обратная сопротивлению). Напряжение на сопротивлении u = iR. Мощность активного сопротивления всегда положительна.

Величина R любого приемника, строго говоря, не остается постоянной при протекании по нему тока, так как сопротивление зависит от температуры,

.

Для практических расчетов в электрических цепях величину R можно принимать постоянной. В этом случае зависимость напряжения на сопротивлении R от силы тока (вольт-амперная характеристика) будет называться линейной. Электрические цепи, в которые включены постоянные по величине сопротивления, также будут линейными.

2. В магнитном поле катушки накопление энергии происходит по закону

, ,

где Y_к – потокосцепление; L _к – индуктивность или коэффициент пропорциональности между током и потокосцеплением; i _к – ток через катушку.

Потокосцеплением самоиндукции Y цепи называется сумма произведений магнитных потоков, обусловленных только током в этой цепи, на число витков, с которыми они сцеплены.

Если все витки пронизываются одним и тем же магнитным потоком, то потокосцепление равно произведению магнитного потока на число витков .

В СИ потокосцепление измеряется в веберах, индуктивность в генри.

Зависимость потокосцепления от тока может быть постоянной (линейная зависимость) или нелинейной.

При изменении тока изменяется потокосцепление и в катушке наводится ЭДС

.

Знак (–) показывает, что ЭДС противодействует изменению тока в цепи.

Напряжение и мощность индуктивности равны:

.

Мощность может быть как положительной (при намагничивании), так и отрицательной (при размагничивании).

3. Накопление энергии в электрическом поле конденсатора

, ,

где q _к – заряд; U _к – напряжение; С_к – емкость конденсатора.

Емкость – отношение электрического заряда к разности потенциалов между электродами, измеряется в фарадах.

Если изменяется напряжение источника в цепи конденсатора, то происходит перераспределение зарядов на его пластинах, что приводит к возникновению тока в цепи:

.

Мощность конденсатора положительна при его заряде и отрицательна при разряде конденсатора.

Мгновенные значения напряжения и тока характеризуют режим работы устройства.

2. Топологические понятия электрических цепей

Участок электрической цепи, по которому проходит ток одного и того же значения и направления, называется ветвью. Замкнутая электрическая цепь, образованная одной или несколькими ветвями, называется контуром, а место соединения трех или более ветвей – узлом. На схеме узел изображается точкой. Графическое изображение цепи называется электрической схемой.

Электрические цепи классифицируются: по роду тока (постоянный и переменный); по характеру элементов (линейные и нелинейные); по схемам соединения (простые и сложные); по изображению (монтажные, принципиальные и замещения).

3. Законы электрических цепей

1. Закон Ома: , , .

2. Первый закон Кирхгофа – закон баланса токов в узле. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна 0, = 0. Электрический заряд в узле не накапливается.

3. Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма ЭДС источников питания в любом контуре равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура, .

4. Закон Джоуля – Ленца. Энергия, выделяемая на сопротивлении R при протекании по нему тока I, пропорциональна произведению квадрата силы тока и величины сопротивления: .

4. Режимы работы электрических цепей

В промышленности применяются два рода тока – постоянный и переменный. Под постоянным понимают электрический ток не изменяющийся во времени.

Если ток постоянный, то отсутствует явление самоиндукции и напряжение на катушке индуктивности равно нулю,

так как i = const.

Если рассматривать конденсатор как идеальную емкость, то в цепи постоянного тока эта ветвь равносильна разомкнутой.

Постоянный ток через емкость не проходит.

Таким образом, в цепи постоянного тока остаются только источники ЭДС или тока – активные элементы и приемники резисторы – пассивные элементы.

Простыми цепями постоянного тока называются цепи с одним источником при последовательном (рис.1), параллельном (рис.2) и смешанном (рис.3) соединении приемников.

Согласно схеме на рис.1: E = IR ₁ + IR ₂ + ××× + IR_n = = I (R ₁ + R ₂ + ××× + R_n) = IR _экв; R _экв = S R_i.

При параллельном соединении приемников напряжение на всех приемниках одинаково.

По закону Ома токи в каждой ветви:

; ; .

По первому закону Кирхгофа общий ток

;

; .

Смешанное соединение – комбинация первых двух соединений где параллельное соединение может быть преобразовано к последовательному:

.

Переменным током называется ток, периодически меняющийся по величине и направлению.

Периодический режим: I ₀(t) = I ₀(t + к T). К такому режиму может быть отнесен синусоидальный:

,

где– амплитуда; – начальная фаза; – угловая скорость вращения генератора.

При f = 50 Гц 0,02 с, w» 314 pад/c.

График синусоидальной функции называется волновой диаграммой (рис.4).

При расчете электрических цепей синусоидальную функцию выражают по формуле Эйлера через экспоненциальные функции:

; ;

где .

Тогда

,

где ; – поворотный множитель; – комплексная амплитуда напряжения; – сопряженная комплексная амплитуда напряжения.

Таким образом, синусоидальное напряжение можно представить на комплексной плоскости вращающимся вектором. Тогда амплитудное значение напряжения U_m будет представлять собой модуль или длину вектора напряжения (рис.5).

Так как в цепи с синусоидальным напряжением ток тоже будет подчиняться этому закону, то аналогично можно записать

где комплексная амплитуда тока; сопряженная комплексная амплитуда тока.

Разделив напряжение на ток, получим закон Ома в комплексном виде:

.

При напряжение на сопротивлении согласно закону Ома . Таким образом, следует отметить, что на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе и y _u – y _i = j = 0 (рис.6).

Среднее значение напряжения:

.

Действующие значения тока и напряжения:

; .

Приборы электромагнитной системы, применяемые для измерений напряжений и токов на переменном токе, регистрируют действующие значения. Соответственно градуируются и шкалы этих приборов.

Ток, протекающий через индуктивность L (рис.7), меняется по закону синуса .

Напряжение на индуктивности определяется выражением

,

где ; – модуль индуктивного сопротивления цепи переменного тока.

В идеальной индуктивности ток отстает от напряжения на 90°.

Если напряжение на емкости меняется по закону синуса (рис.8) , то

;

; ; .

В идеальной емкости ток опережает напряжение на 90°.

Режим – состояние электрической цепи переменного тока описывается дифференциальными уравнениями, представляющими собой уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью, например .

Из курса высшей математики известно, что общее решение такого уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов:

, ,

где – ток принужденного режима при и U (t) = U ₀; – ток свободного режима.

Свободные процессы исследуются с целью определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать. Принужденный и свободный процессы в сумме определяют процессы, которые называются переходными, т.е. осуществляется переход от одного установившегося режима к другому.

При установившемся режиме ток и напряжение сохраняют в течение длительного времени амплитудные значения.

В цепях постоянного тока токи и напряжения остаются неизменными, а в цепях переменного тока остаются неизменными кривые изменения токов и напряжений.

5. Мощность цепи переменного тока

В периодическом синусоидальном режиме

.

Используя известное тригонометрическое преобразование

и обозначив , получим

.

Среднее за период значение гармонической функции удвоенной частоты равно нулю. Отсюда получаем, что мощность в цепи переменного тока не зависит от времени и определяется ее средним значением

,

где cosj – энергетическое значение коэффициента мощности,

; .

При заданных Р и U ток является функцией cosj. Потери мощности на сопротивлении D Р = I ² R.

В цепи с резистором j = 0 кривые тока и напряжения показаны на рис.9, а кривая мощности на рис.10.

Мгновенное значение мощности:

;

.

Действующее значение мощности:

.

Активная мощность в цепи с идеальной катушкой индуктивности равна 0. Реактивная мощность определяется выражением Q = U_LI = I ² X_L.

Аналогичные выкладки можно проделать для цепи с идеальным конденсатором: P = 0, Q = U _с I = I ² X _с.

6. Символический метод расчета цепей переменного тока

Для цепи переменного тока с последовательным соединением R, L, C (рис.11) дифференциальные уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:

, .

Решение системы дифференциальных уравнений можно существенно упростить, если перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Это можно сделать, изображая синусоидальные величины (i, u) в комплексной форме, т.е. в виде вектора на комплексной плоскости (рис.12).

Расположим под углом y _u относительно оси абсцисс вектор U_m, длина которого в масштабе равна амплитуде изображаемой величины. Положительные углы будем откладывать в направлении против часовой стрелки.

Проекции вектора на вертикальную ось мнимых величин в комплексной плоскости равны мгновенному значению напряжения.

Система векторов на комплексной плоскости называется векторной диаграммой. Вектора вращаются относительно центра координат с одной и той же скоростью и поэтому относительно друг друга их положение не меняется. Векторная диаграмма изображается неподвижной в заданный момент времени, определяемый начальной фазой какой-либо величины, например, для идеальных элементов R, L, C (рис.13).

Сложение двух функций в тригонометрической форме трудоемко, но легко производится в векторной форме (рис.14).

В расчетах применяют три формы записи комплексных величин:

1) алгебраическая ;

2) тригонометрическая

;

; ;

3) показательная ;

; ; .

Символ j перед мнимой частью комплексного числа в алгебраической форме означает, что мнимая часть повернута по отношению к вещественной на угол 90° в положительном направлении (против часовой стрелки).

Переходы из одной формы записи в другие:

,

где , ;

,

где , .

Представленная ранее система дифференциальных уравнений для цепи переменного тока с R, L, C в комплексном виде записывается следующим образом:

;

;

.

Используя выражения , , запишем выражение для полного напряжения цепи:

,

где – комплексное сопротивление; – комплексная амплитуда напряжения; – комплексная амплитуда тока.

При замене амплитудных значений на действующие получим закон Ома в комплексной форме:

.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

.

Векторная диаграмма напряжений для цепи (см. рис.11) будет представлять собой прямоугольный треугольник (рис.15),

; ;

; .

Треугольники токов, сопротивлений (рис.16) и мощностей (рис.17) строятся аналогично:

; ;

; ;

; .

Полная мощность S = UI; активная мощность Р = UI cosj; реактивная мощность Q = UI sinj, где ; ; ; ; ; .

В треугольниках напряжений, токов, сопротивлений и мощностей угол j сохраняет свое значение.

При параллельном соединении ветвей (рис.18) их проводимости складываются в комплексной форме:

;

; ; .

Общий ток по первому закону Кирхгофа:

.

7. Резонансные явления в электрических цепях

Идеальное активное сопротивление от частоты не зависит (рис.19), индуктивное сопротивление линейно зависит от частоты, емкостное сопротивление зависит от частоты по гиперболическому закону: R = const, X_L = j w L, X_С =.

Резонанс напряжений

Резонансом в электрических цепях называется режим участка электрической цепи, содержащей индуктивный и емкостной элементы, при котором разность фаз между напряжением и током равна нулю (j = 0). При последовательном соединении возникает резонанс напряжения (рис.20). Режим резонанса может быть получен при изменении частоты w питающего напряжения или изменением параметров элементов L и C.

Для схемы на рис.20 ток

.

Знаменатель данного выражения есть комплексное сопротивление, модуль которого зависит от частоты. При достижении некоторой частоты реактивная составляющая сопротивления исчезает, модуль сопротивления становится минимальным, ток в данной схеме возрастает до максимального значения, причем вектор тока совпадает с вектором напряжения по фазе (рис.21):

; j = 0;

;

,

где w₀ – резонансная частота напряжения определяемая из условия

; .

Тогда

, .

Волновое или характеристическое сопротивление последовательного контура

.

Отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению на входе в режиме резонанса называется добротностью контура:

.

Добротность контура представляет собой коэффициент усиления по напряжению и в катушках индуктивности может достигать сотен единиц:

.

При >> R напряжение на индуктивности (или емкости) может быть гораздо больше напряжения на входе, что широко используется в радиотехнике. В промышленных сетях резонанс напряжений является аварийным режимом, так как увеличение напряжения на конденсаторе может привести к его пробою, а рост тока к нагреву проводов.

Резонанс токов

Резонанс токов может возникнуть при параллельном соединении (рис.22) реактивных элементов в цепях переменного тока, где

; ;

.

При определенной частоте, называемой резонансной, реактивные составляющие проводимости могут сравняться по модулю и суммарная проводимость будет минимальной. Общее сопротивление при этом становится максимальным, общий ток минимальным, ток совпадает с вектором напряжения. Такое явление называется резонансом токов (рис.23).

Волновая проводимость .

При g << b_L ток в ветви с индуктивностью гораздо больше общего тока, поэтому такое явление называется резонансом токов и широко используется в силовых сетях промышленных предприятий для компенсации реактивной мощности.

8. Трехфазные цепи

Трехфазные цепи – совокупность однофазных, в которых действуют синусоидальные токи и напряжения одной частоты, отличающиеся по фазе.

В электротехнике термин фаза имеет два значения: понятие, характеризующее стадию периодического процесса, и наименование однофазных цепей, образующих многофазную систему.

В трехфазных системах токи (напряжения) фаз сдвинуты на одну треть периода, т.е. на 120°.

Рассмотрим работу простейшего трехфазного генератора (рис.24). Он состоит из статора, внутри которого расположены три обмотки, сдвинутые относительно друг друга на 120°, и мощного электромагнита с обмоткой, получающей питание от источника постоянного тока. При вращении магнита в обмотках индуктируются ЭДС, сдвинутые также на 120°.

Ниже приведены выражения для ЭДС фаз А, В, С и их векторная диаграмма (рис.25):

; ;

; ;

; ;

е_А = е_В = е_С; .

Соединение фаз звездой

Рассмотрим схему соединения звездой на рис.26.

На рис.26 – фазные напряжения (напряжения между началом и концом соответствующей фазы); – фазные токи – токи в фазах приемника; – линейные напряжения (напряжения между началами двух соседних фаз); – линейные токи – токи в линиях.

Для схемы соединения звездой (рис.26) очевидно равенство фазных и линейных токов. Независимо от характера нагрузки:

; ;

; ; , .

Из векторной диаграммы (рис.27) при равномерной (симметричной) нагрузке следует:

;

;

;

;

;

.

При неравномерной (несимметричной) нагрузке Z_A ¹ Z_B ¹ Z_C между точками 0 и 0₁ (рис.28) возникает напряжение несимметрии

;

; ; .

При симметричной нагрузке .

При несимметричной нагрузке (рис.29) напряжения фаз приемника неодинаковы по величине и по фазе.

;

; .

Для обеспечения симметричной системы напряжений во всех фазах и независимой работы отдельных приемников используется схема звезда с нулевым проводом (рис.30) или четырехпроводная система.

Поскольку узлы 00₁ соединены нулевым проводом, напряжение между ними равно нулю. При несимметричной нагрузке фазные и линейные напряжения остаются постоянными.

Четырехпроводная система позволяет получать одновременно два напряжения – фазное и линейное, например, 220 В и 380 В.

Соединение нагрузки треугольником

Рассмотрим схему соединения треугольником на рис.31.

Из схемы очевидно: U _{ф AB} = U_АВ ; U _{ф BС} = U_ВС ; U _{ф СA} = U_СА.

Для схемы соединения треугольником (рис.31):

U _ф = U _л;

; ;

; .

Связь между линейными и фазными токами показана на рис.32:

; .

Для симметричной трехфазной системы справедливы соотношения:

в схеме звездой

; I _л = I _ф;

U_AB = U_BC = U_CA; I_A = I_B = I_C;

в схеме треугольником

I_AB = I_BC = I_CA = I _ф; ;

U_AB = U_BC = U_CA = U _ф = U _л; U _л = U _ф.

Мощность трехфазной системы

В общем случае мощность трехфазного приемника равна сумме мощностей всех фаз ; .

При симметричной нагрузке справедливы соотношения:

для схемы звездой

; ,

для схемы треугольником

; .

Мощность при симметричной нагрузке:

; ;

.

9. Измерение мощности в трехфазной сети

Метод двух ваттметров для измерения мощности однородной трехфазной нагрузки представлен на рис.33.

Для данной схемы независимо от соединения нагрузки можем записать: P _3ф = W ₁ + W ₂; .

При симметричной нагрузке (модули и фазы сопротивлений нагрузки равны между собой) измерение мощности можно производить одним ваттметром, включенным на фазное напряжение и фазный ток, P _3ф = 3 W ₁.

При несимметричной нагрузке требуется измерение тремя ваттметрами, включаемыми в каждую фазу.

10. Нелинейные цепи

К нелинейным относятся цепи, содержащие нелинейные элементы (НЭ), у которых параметры R, L и С зависят от напряжения U, тока I и магнитного потока Ф.

Особенностью нелинейных элементов является наличие статического и динамического сопротивлений. Рассмотрим их на примере вольт-амперной характеристики (рис.34).

Статическое сопротивление

.

Динамическое сопротивление

.

Динамическое сопротивление используется для нахождения общего решения системы уравнений электрического равновесия электрической цепи.

ВАХ делятся на симметричные и несимметричные относительно начала координат, на монотонные, если производная не меняет свой знак, и немонотонные при смене знака производной. Кроме этого, они могут быть управляемыми (тиристор, транзистор) и неуправляемыми (диод, стабилитрон).

Если ВАХ НЭ проходит через начало координат, то это пассивный элемент, в котором происходят необратимые преобразования электрической энергии. В противном случае отрезки от начала координат до пересечения с ВАХ будут определять наличие источников энергии, которая отдается во внешнюю по отношению к НЭ часть цепи.

В качестве примера нелинейных элементов можно назвать диод, стабилитрон и варистор.

11. Магнитные цепи

Электрический ток связан с магнитным полем. Основные величины, характеризующие магнитное поле, следующие.

Магнитный поток Ф, измеряется в веберах, . Для катушки индуктивности .

Магнитная индукция В – интенсивность магнитного потока, (где S – сечение магнитопровода).

Напряженность магнитного поля связана с магнитной индукцией соотношением .

Магнитная проницаемость вещества .

Относительная магнитная проницаемость .

Магнитная проницаемость в вакууме .

Все вещества по величине магнитной проницаемости делятся на: диамагнетики – m < m₀ (висмут); парамагнетики – m > m₀ (кислород); ферромагнетики – m >> m₀ (железо, кобальт, никель и их сплавы).

Кривая намагничивания (рис.35) показывает связь между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля. У ферромагнетиков эта связь существенно нелинейна.

В стали потери на перемагничивание пропорциональны площади, ограниченной кривой намагничивания. Материалы с большой площадью кривой намагничивания называются магнитотвердыми, с малой площадью кривой намагничивания магнитомягкими, например, электротехническая сталь. Материалы, имеющие прямоугольную петлю гистерезиса, используются в автоматике и вычислительной технике.

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 709; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!