Преобразование Лапласа

Операторные уравнения для элементов электрической цепи L, R, C получим в результате преобразования по Лапласу уравнений для мгновенных значений токов и напряжений.

1. Активное сопротивление R.

Уравнение для мгновенных значений имеет вид:

(6.15)

Преобразуя это уравнение и учитывая свойство линейности интегрального преобразования, получим операторное уравнение

(6.16)

где

Активное сопротивление R и соответствующее ему операторное сопротивление, как следует из (6.16), равны. Схемы, соответствующие уравнениям (6.15) и (6.16), представлены на рис. 6.4.

i (t) R I (p) R

«

u (t) U (p)

Рис. 6.4

2. Индуктивный элемент L.

Уравнение индуктивности для мгновенных значений имеет вид:

Преобразуя это уравнение и учитывая соответствующее соотношение, приведенное в табл. 6.1, получим операторные уравнения для индуктивности:

. (6.17)

Выражениям (6.17) соответствуют операторная эквивалентная схема (рис. 6.5). Величина pL называется индуктивным операторным сопротивлением, - индуктивной операторной проводимостью. Начальное значение тока в индуктивности i_L (0) учитывается в виде дополнительного источника ЭДС E_L. При нулевых начальных условиях дополнительный источник в операторном уравнении (6.17) и соответственно на схеме замещения индуктивности отсутствует.

L I (p) pL

«

Рис. 6.5

3. Емкостной элемент С.

Уравнение емкости для мгновенных значений имеет вид:

(6.18)

Преобразуя это уравнение

и учитывая соответствующее соотношение, приведенное в табл. 6.1, получим операторное уравнение для емкости:

. (6.19)

На рис. 6.6 представлена схема, соответствующая уравнению (6.18) для мгновенных значений токов и напряжений и уравнениям (6.19) для операторных токов и напряжений. Величина называется емкостным операторным сопротивлением, рС – емкостной операторной проводимостью. Начальное значение напряжения учитывается, как видно из уравнений (6.19) и рис. 6.6, в виде дополнительного источника ЭДС .

С «I (p) 1/ pC