Способы расчета электрических полей. Принцип суперпозиции

Из формулы закона Кулона (2.1.1) и определения напряженности (2.1.2) следует, что напряженность поля, созданного точечным зарядом q в точке на расстоянии r от него рассчитывается по формуле

где

- орт, направленный от заряда – источника поля к точке, в которой ищется напряженность,

- радиус-вектор, проведенный от заряда к точке, в которой рассчитываем напряженность электрического поля. Таким образом, напряженность поля в любой точке направлена вдоль прямой, соединяющей ее с зарядом и эти же линии являются силовыми (рис. 2.4).

Из формулы потенциальной энергии взаимодействия двух точечных зарядов (2.1.3) и определения потенциала (2.1.4) получим выражение для потенциала поля точечного заряда

Напомним, что потенциал (как и потенциальная энергия) может быть определен только с точностью до произвольной постоянной. При определении потенциала точечного заряда обычно полагают, что при бесконечном удалении от заряда потенциал равен нулю. При этом условии const = 0 и потенциал точечного заряда находится по формуле

Таким образом, во всех точках равноотстоящих от заряда потенциал одинаков, т.е. эквипотенциальными поверхностями являются сферы (рис. 2.2.1).

Существует два способа расчета напряженности электрического поля:

Потенциал можно найти также двумя способами либо по принципу суперпозиции, либо через связь с напряженностью (2.1.11).

Если электрическое поле создается несколькими точечными зарядами, то электрические поля каждого заряда в отдельности накладываются друг на друга. Результат наложения полей и будет так называемым результирующим полем. В этом заключается принцип суперпозиции.

где

- соответственно напряженность и потенциал поля, созданного одним точечным зарядом.

Если же поле создается некоторым заряженным телом, то это тело нужно разбить на бесконечно малые элементы, которые можно полагать точечными зарядами, а затем воспользоваться принципом суперпозиции

1. Пусть поле создается двумя точечными зарядами находящимися в вершинах равностороннего треугольника. Сторона треугольника равна

. Найдем величину вектора напряженности результирующего поля в третьей вершине (см. рис.2.2.2). Согласно принципу суперпозиции запишем

. Возведем в квадрат полученное выражение

. Угол между векторами

равен

. Раскроем скалярные произведения

. Модуль вектора

равен

. Со

гласно (2.2.4) и (2.2.1) можно записать

. После несложных преобразований приходим к ответу

. Направление вектора

находится по правилу сложения векторов.

Если модули зарядов q и q одинаковы, система называется электрическим диполем. Электрический диполь– это система из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов и , находящихся на некотором расстоянии друг от друга. Когда говорят о поле диполя, то предполагают сам диполь точечным, то есть считают расстояние

от диполя до интересующей нас точки поля значительно больше

Поле диполя обладает осевой симметрией, поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, одна и та же и вектор

лежит в этой плоскости.

Согласно принципу суперпозиции потенциал системы точечных зарядов в заданной точке равен

Потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал точечного заряда (

вместо

Введем понятие дипольного момента. Для этого обозначим

- плечо диполя – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному. Тогда

электрический дипольный момент – вектор, равный произведению модуля заряда на плечо

С учетом (2.2.7) перепишем формулу (2.2.6) следующим образом

С помощью формулы (2.1.11) вычислим проекции

В частности, при угле

, мы получаем выражение для поля вдоль оси диполя

. При угле

, мы получаем выражение для поля перпендикулярно оси

. При одном и том же

напряженность

в два раза больше

А теперь поместим диполь во внешнее электрическое поле. Рассчитаем силу, действующую на диполь, и его энергию в поле. Пусть

- напряженности внешнего поля в точках, где расположены положительный и отрицательный заряды диполя. Тогда результирующая сила, действующая на диполь, равна

Здесь

- это приращение вектора

на отрезке, равном длине диполя

, в направлении вектора

Из формулы видно, что сила, приложенная к диполю в однородном поле равна нулю (т.к.

), в неоднородном электрическом поле ─ направлена в сторону усиления поля. Кроме того, на диполь будет действовать момент сил

, под действием которого диполь будет разворачиваться дипольным моментом вдоль напряженности внешнего поля.

Энергия диполя в поле равна

. Здесь

потенциалы поля в точке нахождения положительного и отрицательного зарядов диполя соответственно. Поскольку

выражение для энергии диполя примет вид

Из формулы следует, что минимальную энергию диполь имеет при

(положение устойчивого равновесия). При отклонении от этого положения, возникает момент сил, стремящихся вернуть диполь в это положение.

2. Разберем второй случай, когда заряд распределен непрерывно.

Найдем напряженность электрического поля тонкого равномерно заряженного с линейной плотностью

стержня на оси, проходящей через его середину и перпендикулярной стержню (см. рис. 2.8). Длина стержня равна

Мысленно можно разбить стержень на заряженные малые отрезки, которые можно считать точечными зарядами (

). Напряженность поля такого заряда равна

. Согласно принципу суперпозиции

. Из рис.2.2.5 видно, что результирующее поле будет направлено строго по оси

. Поэтому для отыскания модуля

следует суммировать только проекции

Прежде чем перейти к интегралу, преобразуем полученное выражение. Переменные величины

свяжем через тангенс угла

Поскольку для всех

значение

одинаковое, то эту величину можем считать постоянной. Продифференцируем это выражение:

Подставим полученные замены в выражение для

Пределы интегрирования

соответствуют угловым размерам стержня относительно оси

для данного значения

. Результат интегрирования:

. Учтем, что

и получим окончательное выражение

Если стержень будет очень длинным (бесконечным), т.е. x «a, из (2.2.13) следует

(2.2.14) Определим в этом последнем случае также потенциал поля. Для этого воспользуемся связью между напряженностью и потенциалом. Как видно из (2.2.14) в случае бесконечного стержня напряженность в любой точке поля имеет только радиальную составляющую Е. Следовательно потенциал будет зависеть лишь от этой координаты и из (2.1.11) получим

(2.2.15) Постоянную в (2.2.5) находят, положив потенциал равным нулю на некотором расстоянии L от стержня, и тогда

. (2.2.16) Лекция 2.3 Поток вектора

. Теорема Гаусса. Потоком вектора

через какую-либо поверхность называется поверхностный интеграл

где =– вектор, по направлению совпадающий с нормалью к поверхности (единичный вектор нормали к поверхности) и по модулю равный площади . Так как под интегралом стоит скалярное произведение векторов, то поток может получаться как положительным, так и отрицательным, в зависимости от выбора направления вектора . Геометрически поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих данную площадку (см. рис.2.3.1).

Теорема Гаусса.

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную

замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных

внутри этой поверхности, деленной на (в системе СИ)

. (2.3.1)

В случае замкнутой поверхности вектор выбирают от поверхности наружу.

Таким образом, если силовые линии выходят из поверхности, поток будет положительным, а если входят, то – отрицательным.

Расчет электрических полей с помощью теоремы Гаусса.

В ряде случаев напряженность электрического поля по теореме Гаусса рассчи-

тывается достаточно просто. Однако в основе лежит принцип суперпозиции.

Поскольку поле точечного заряда является центрально-симметричным, то поле

центрально-симметричной системы зарядов также будет центрально-симметричным. Простейший пример – поле равномерно заряженного шара. Если распределение заряда обладает осевой симметрией, то и структура поля будет отличаться осевой симметрией. Примером может служить бесконечная равномерно заряженная нить или цилиндр. Если заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости, то силовые линии поля будут располагаться симметрично относительно симметрии заряда. Таким образом, указанный метод расчета применяют в случае высокой степени симметрии распределения заряда, создающего поля. Далее приведем примеры расчета таких полей.

Электрическое поле однородно заряженного шара.

Шар радиуса равномерно заряжен с объемной плотностью . Рассчитаем поле внутришара.

Система зарядов центрально-симметричная. В

качестве поверхности интегрирования выберем

сферу радиуса r (r < R), центр которой совпадает

с центром симметрии заряда (см. рис.2.3.2). Рассчитаем поток векторачерез эту поверхность.

Вектор направлен по радиусу. Так как поле

обладает центральной симметрией, то

значение Е будет одинаково во всех точках

выбранной поверхности. Тогда

Теперь найдем заряд, заключенный внутри выбранной поверхности

В результате из (2.3.1) имеем

Далее несложно получить выражение для напряженности поля внутри шара

. (2.3.2)

Отметим, что, если заряд распределен не по всему объему шара, а лишь по его поверхности (задана заряженная сфера), то напряженность поля внутри будет равна нулю.

Рассчитаем поле вне шара см. рис. 2.3.3.

Теперь поверхность интегрирования полностью охватывает весь заряд шара. Теорема Гаусса запишется в виде

Учтем, что поле центрально симметричное

Окончательно для напряженности поля снаружи заряженного шара получим

=. (2.3.3)

Таким образом, поле вне равномерно заряженного шара будет иметь такой же вид, как для точечного заряда, помещенного в центре шара. Тот же результат получим и для равномерно заряженной сферы.

Проанализировать полученный результат (2.3.2) и (2.3.3) можно с помощью графика рис.2.3.4.

Электрическое поле бесконечного равномерно заряженного цилиндра.

Пусть бесконечно длинный цилиндр заряжен равномерно с объемной плотностью .

Радиус цилиндра равен . Найдем поле внутри цилиндра, как функцию

расстояния от оси. Поскольку система зарядов имеет осевую симметрию,

поверхностью интегрирования мысленно выберем также цилиндр меньшего

радиуса и произвольной высоты , ось которого совпадает с осью симметрии задачи (рис.2.3.5). Рассчитаем поток через поверхность этого цилиндра, разбив его на интеграл по боковой поверх-

ности и по основаниям

Из соображений симметрии

следует, что направлен радиально. Тогда, так как силовые линии поля не пронизывают ни одно из оснований выбранного цилиндра,то поток через эти поверхности равен нулю. Поток вектора через боковую поверхность цилиндра запишется:

Заряд, заключенный внутри выбранного цилиндра будет равен:

Подставим оба выражения в исходную формулу теоремы Гаусса (2.3.1)

После несложных преобразований получим выражение для напряженности электрического поля внутри цилиндра

(2.3.4)

В этом случае также, если заряд распределен только по поверхности цилиндра, то напряженность поля внутри равна нулю.

Теперь найдем поле снаружи заряженного цилиндра

Мысленно выберем в качестве поверхности, через которую будем рассчитывать поток вектора , цилиндр радиуса и произвольной высоты (см. рис. 2.3.6).

Поток запишется так же как и для внутренней области. А заряд, заключенный внутри мысленного цилиндра, будет равен:

После несложных преобразований получим выражение для напряженности электрического

поля снаружи заряженного цилиндра:

. (2.3.5)

Если ввести в этой задаче линейную плотность заряда, т.е. заряд на единице длины цилиндра , то выражение (2.3.5) преобразуется к виду

, (2.3.5а)

Что соответствует результату, полученному с помощью принципа суперпозиции (2.2.14).

Как видим зависимости в выражениях (2.3.4) и (2.3.5) разные. Построим график .

Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости.

Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Силовые линии электрического поля симметричны относительно этой плоскости, а, следовательно вектор перпендикулярен заряженной плоскости. Мысленно выберем для интегрирования цилиндр произвольных размеров и расположим его как показано на рис.2.3.8. Запишем теорему Гаусса:

Видно, что силовые линии пронизывают только оба основания цилиндра. Правая часть теоремы запишется:

Внутри мысленного цилиндра будет находиться заряд равный:

Подставим оба выражения в теорему Гаусса и после несложных преобразований получим искомую функцию:

. (2.3.6)

Значение напряженности поля всюду одинаковое. Силовые линии параллельны друг другу. Такое поле у которого силовая характеристика во всех точках одинакова по величине и направлению () называют однородным.

Теорема Гаусса в дифференциальной форме.

В теории векторного поля (например, поля ) бывает удобно ввести скалярную характеристику изменения поля, называемую дивергенцией. Для определения этой характеристики выберем в поле малый объем вблизи некоторой точки Р и найдем поток вектора через поверхность, ограничивающую этот объем. Затем поделим полученную величину на объем и возьмем предел полученного отношения при стягивании объема к данной точке Р. Полученная величина называется дивергенцией вектора

. (2.3.7)

Из сказанного следует . (2.3.8)

Это соотношение носит название теорема Гаусса – Остроградского, оно справедливо для любого векторного поля.

Тогда из (2.3.1) и (2.3.8), принимая во внимание, что заряд, заключенный в объеме V, можно записать получим

или, так как в обеих частях уравнения интеграл берется по одному и тому же объему,

. (2.3.9)

Это уравнение математически выражает теорему Гаусса для электрического поля в дифференциальной форме.

Смысл операции дивергенция состоит в том, что она устанавливает наличие источников поля (источников силовых линий). Точки, в которых дивергенция не равна нулю, являются источниками силовых линий поля. Таким образом, силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах.

В заключение скажем, что в декартовой системе координат

. (2.3.10)