Постановка основных начально-граничных задач. Чтобы найти температуру внутри тела в любой момент времени недостаточно одного дифференциального уравнения в частных производных (5)

Чтобы найти температуру внутри тела в любой момент времени недостаточно одного дифференциального уравнения в частных производных (5). Необходимо, как это следует из физической постановки задачи, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе рассматриваемого твердого тела (граничное условие).

Граничные условия могут быть заданы по-разному:

1. В каждой точке поверхности тела задается температура

,

где и – заданная функция.

2. На поверхности задается тепловой поток, т.е. количество тепла, проходящего через единицу площади поверхности за единицу времени. Тогда из закона Фурье (1) будем иметь

.

Откуда

, (7)

и – заданная функция.

3. На поверхности твердого тела происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой известна. Закон теплообмена достаточно сложен и в более упрощенной ситуации он может быть задан в виде эмпирического закона Ньютона. Согласно этому закону, количество тепла, передаваемое в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:

,

где – коэффициент теплообмена, который зависит от разности температур , свойств поверхности и окружающей среды.

По закону сохранения энергии это количество тепла должно быть равно количеству тепла, которое определяется на основании закона Фурье равенством:

.

Тогда приходим к следующему граничному условию на :

или, положив ,

на .

Отсюда в случае изотропного твердого тела граничное условие может быть записано в виде:

, , (8)

где – заданные функции.

Таким образом, задача о распространении тепла в изотропном твердом теле ставится следующим образом: найти в цилиндре

решение д.у. (5), удовлетворяющее начальному условию

(9)

и одному из граничных условий (6), (7), (8).

Математические задачи (5), (6) и (9); (5), (7) и (9); (5), (8) и (9) называются основными начально-граничными задачами для д.у. параболического типа, в частности, для уравнения теплопроводности, при этом задача (5), (6) и (9) называется первой, задача (5), (7) и (9) – второй, задача (5), (8) и (9) – третьей начально-граничными задачами для д.у. параболического типа

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 277; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!