Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства

Несобственный интеграл

Геометрическое приложение определенного интеграла

Методы интегрирования определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.

Лекция 12. Основная формула интегрального исчисления.

Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом

Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом меньшем отрезке и следовательно для любого . Чтобы не смешивать обозначения верхнего предела и переменной интегрирования, будем записывать его в виде .

Определение. Для функции , интегрируемой на , интеграл вида

, где , называется интегралом с переменным верхним пределом

интегрирования.

Рассмотрим функцию .

Теорема 1. Если интегрируема на , то непрерывна на .

Теорема 2. Если непрерывна на , то дифференцируема на и ее производная (иначе говоря: производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции на верхнем пределе интегрирования).

Доказательство. так как при вследствие непрерывности функции на по условию.

Следствие. Определенный интеграл с переменным верхним пределом функции является первообразной для функции .

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1099; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!