Метод прогонки для рівняння Пуасона

Дано прямокутник . В ньому треба знайти розв‘язок рівняння Пуасона:

(1)

Яке задовольняє граничну умову:

(2)

на межі прямокутника, де п – зовнішня нормаль. Виберемо вузли наступним чином:

Для внутрішніх вузлів запишемо різницеві рівняння:

(3)

а граничні умови запишемо так:

(4)

З двох останніх рівнянь системи (4) шукаємо:

(5)

(6)

Позначивши: і використовуючи (5) і (6) з системи (3) виключимо

(7)

В системі (7) введемо позначення:

Позначимо:

Системи (7) можна записати:

(9)

Систему (9) будемо розв‘язувати методом прогонки. На етапі прямого ходу знайдемо і такі, щоб довільні і: (10).

Підставивши (10) в (9) і виразивши отримаємо:

Порівнюючи дві останні рівності стверджуємо, що:

(11)

(12)

Оскільки значення і відомі, то з (11) та (12) можна знайти і при всіх значеннях і. З третього рівняння системи (9) і рівності (10) при і=п маємо:

тобто маємо значення . Тоді на етапі зворотної прогонки використовуючи (10) послідовно знайдемо Таким чином рівняння буде розв‘язане.

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 254; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!