Построение частотных характеристик дискретных систем

Построение частотных характеристик дискретных систем имеет ряд особенностей, обусловленных их периодичностью с периодом, кратным частоте квантования .

Выражения для частотных характеристик импульсных систем получаются из их передаточных функций путем замены оператора z на . Так как частота входит в показатель степени числа e, то частотные характеристики являются периодическими функциями частоты, период изменения которых равен . Следовательно, нельзя различить составляющие, частоты которых кратны частоте квантования импульсного элемента .

Таким образом, частотная передаточная функция разомкнутой импульсной системы имеет вид:

Функция представляет собой комплексный спектр дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы W(z) и полностью характеризует частотные свойства разомкнутой системы, т.е. позволяет вычислить установившуюся реакцию системы на решетчатое гармоническое воздействие произвольной частоты .

Как и для обыкновенных линейных систем, рассматривают амплитудную, фазовую, вещественную и мнимую частотную характеристики:

;

;

;

.

Свойства частотных характеристик импульсных систем.

1. В соответствии с периодичностью частотной передаточной функции амплитудно-фазовая частотная характеристика полностью определяется своими значениями в интервале .

2. Так как вещественная частотная характеристика является четной функцией, а мнимая - нечетной, то достаточно рассматривать интервал частот .

3. В крайних точках интервала амплитудно-фазовая частотная характеристика принимает вещественные значения.

4. При уменьшении периода дискретности T, т.е. при увеличении частоты квантования , частотные характеристики импульсных систем приближаются к частотным характеристикам непрерывных систем. При этом частотный интервал растягивается на всю ось при T → 0.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной системы строится по точкам в интервале частот .

Существуют следующие способы построения частотных характеристик:

1) по дискретной передаточной функции с заменой ;

2) по весовой функции приведенной непрерывной части дискретной системы;

3) по частотной характеристике непрерывной части на основе соотношения:

,

где - дискретная передаточная функция;

4) с использованием w -преобразования.

Способ 1.

Дискретная передаточная функция системы представляется в виде суммы простейших передаточных функций:

.

Построение частотных характеристик по осуществляется в диапазоне частот обычным путем. Затем частотная характеристика дискретной системы определяется как сумма частотных характеристик .

Способ 2.

ДПФ системы выражается через решетчатую весовую функцию соотношением

.

Произведем замену

Последнее выражение определяет алгоритм построения частотных характеристик. На рис. 23.1. показан пример построения АФХ. Точка АФХ для частоты получена как сумма комплексных величин

Рисунок 23.1. Пример построения АФХ дискретной системы по весовой функции приведенной непрерывной части системы

Способ 3.

Произведя замену в выражении

,

получим выражение, связывающее частотную характеристику дискретной системы с частотной характеристикой ее приведенной непрерывной части:

Как правило, . Построение частотных характеристик дискретных систем обычно производится по трем первым членам ряда, поскольку благодаря фильтрующим свойствам непрерывной части модули при величины малые, которыми можно пренебречь.

На рис. 23.2 показан способ нахождения для некоторого значения частоты . Аналогично находится для других значений частот в диапазоне .

Способ 4.

Частотные характеристики импульсных систем, описываются трансцендентными выражениями. Их определение связано со сложными расчетами, поэтому на практике применяются частотные характеристики относительно абсолютной псевдочастоты . Переход к псевдочастоте основан на переходе от z-преобразования к w -преобразованию с помощью подстановки

c последующей заменой комплексной переменной w на абсолютную псевдочастоту

.

При этом реальная частота и псевдочастота связаны соотношением

.

Рисунок 23.2. Пример построения АФХ дискретной системы по АФХ ее непрерывной части

Удобство псевдочастоты заключается в том, что, как следует из последнего соотношения, на частотах где выполняется условие , она приближенно равна угловой частоте, т.е. . Нетрудно убедиться, что при изменении частоты от до псевдочастота принимает значение от до .

Если частота выбрана достаточно высокой, т.е. период следования импульсов значительно меньше постоянных времени непрерывных звеньев системы, то частотные характеристики дискретной системы и непрерывной части в существенном диапазоне частот совпадают, что позволяет во многих случаях с удовлетворительной точностью применять методы анализа и синтеза непрерывных систем к дискретным системам.

Для перехода от дискретной передаточной функции разомкнутой системы к частотной характеристике следует сделать замену

.

Полученное уравнение может быть использовано для построения логарифмических частотных характеристик.

Приближенный способ построения ЛЧХ дискретных систем. Для удобства логарифмические частотные характеристики строятся отдельно для областей низких и высоких частот. Границей, разделяющей частотную область на низкочастотную и высокочастотную, служит частота среза в предположении, что ,

где Т - период дискретности.

Последнее условие необходимо выполнять вследствие требований, предъявляемых к обеспечению запаса устойчивости и точности работы системы, и согласуется с теоремой Котельникова-Шеннона.

Рассмотрим методику построения ЛЧХ на примере дискретной системы, включающей в себя экстраполятор нулевого порядка и непрерывную часть с передаточной функцией:

При построении вводят следующие предположения:

- величина, обратная периоду дискретности T, больше половины частоты среза , т.е. ;

- переход оси нуля децибел асимптотической ЛАХ непрерывной части происходит при отрицательном наклоне −20 дб/дек;

- постоянным времени (j = 1, 2,..., m) соответствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза.

4. Имеется s (s < n) постоянных времени (i = 1, 2,..., s), которым соответствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза.

При принятых допущениях для области низких частот передаточную функцию непрерывной части можно представить в виде

(23.1)

а для области высоких частот

(23.2)

Выражение для ДПФ с фиксатором нулевого порядка получаем из выражения

Для перехода от дискретной передаточной функции разомкнутой системы к частотной характеристике следует сделать замену

По выражениям (23.1) и (23.2) получим частотные характеристики разомкнутой дискретной системы для области низких частот

(23.3) для области высоких частот

, (23.4)

где .

Сравнение выражения (23.3) с (23.1) показывает, что в низкочастотной области частотная передаточная функция импульсной системы может быть получена из передаточной функции непрерывной части подстановкой и умножением на дополнительный множитель . Псевдочастота в этой области практически совпадает с круговой частотой . Влиянием дополнительного множителя при построении частотных характеристик в низкочастотной области можно пренебречь, так как .

Таким образом, в области низких частот частотные характеристики импульсной системы совпадают с частотными характеристиками ее непрерывной части.

Начало логарифмических частотных характеристик в высокочастотной области (23.4) сливается с концом частотных характеристик, построенных в низкочастотной области. На основании (23.3) и (23.4) можно записать выражение результирующей частотной передаточной функции разомкнутой дискретной системы

,

где .

Это выражение представляет собой произведение элементарных типовых сомножителей, поэтому его легко использовать для построения логарифмических частотных характеристик импульсных систем. Результирующий фазовый сдвиг определяется как

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1156; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!