Скорость и ускорение

V = lim =

Мгновенная скорость есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. При уменьшении D t, DS (DS - скаляр) приближается к | ∆ r | (рис. 1.1) и модуль мгновенной скорости

Отсюда модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени

V = (1.3)

Вектор мгновенной скорости можно разложить на три составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат:

a = lim = = (1.4)

Разложение ускорения точки на составляющие по осям прямоугольной системы координат имеет вид: , ,

а модуль ускорения .

Следовательно, ускорение есть вектор, равный первой производной по времени t от скорости V или второй производной радиус-вектора по времени.

Полное ускорение a имеет две составляющие, перпендикулярные между собой (рис. 1.2) а_t и a_n. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине (a _t), а нормальное (центростремительное) по направлению (a_n). При прямолинейном движении а_n = 0. Из рис. 1.2.

Перенесем параллельно V₂ в точку A (рис.1.3) и, отложив на нем V_{1 ,}получим подобные треугольники ACD и ABC. При этом DS»AB, а R -радиус кривизны траектории. Из подобия треугольников:

; Следовательно , отсюда

А

Учитывая произвольность выбора точки А, индекс при V опускается, и формула нормальной составляющей ускорения принимает вид: (1.6) Из рис. 1.3. по правилам действий над векторами , Переходя к пределам получим

 

R D

 

 

, отсюда. (1.7)

 

В скалярной форме (1.7^/)

В зависимости от величин a_n и a_t движение приобретает различный характер: от прямолинейного равномерного до криволинейного с переменным ускорением.