Рассмотрим основные свойства силовой функции

Введем понятие потенциальной энергии. Пусть, например, механическая система М₁ М₂,...,М_n (рис. 162) находится в потенциальном поле под действием сил Р₁ Р₂,..., Р_n. Примем некоторое произвольное положение этой системы за нулевое положение.

Установим зависимость между силовой функцией и потенциальной энергией механической системы.

При перемещении механической системы из данного положения М₁ М₂,..., М_n в нулевое положение работа приложенных к точкам сил равна потенциальной энергии П системы в этом положении. С другой стороны, эту работу можно определить по формуле (72.4) как разность силовой функции U в нулевом положении и в данном, т.е. (72.7)

Равенство (72.7) показывает, что потенциальная энергия системы П отличается от силовой функции U, взятой со знаком минус, на постоянную величину U_o. Из равенства (72.7)

, ,

Тогда на основании формулы (72.2) , , (72.8)

т. е. проекции на координатные оси силы, действующей в потенциальном поле на каждую точку M_i механической системы, равны взятым со знаком минус частным производным от потенциальной энергии системы по соответствующим координатам этой точки.

Рассмотрим, какой вид получат выведенные выше формулы при движении в потенциальном поле лишь одной материальной точки.

Силовая функция в этом случае имеет вид

U = U(x, у, z), (72.9)

где х, у, z —координаты рассматриваемой точки. Потенциальная энергия точки П = П(х, у, г). (72.10)

Формулы (72.1), определяющие проекции на оси координат силы поля, действующей на точку, принимают вид (72.11)

(72.8) принимают вид , , (72.12)

Если применить понятие вектора-градиента от скалярной функции U

Соотношения (72.14) устанавливают необходимые условия, при выполнении которых силовое поле является потенциальным. Можно доказать и достаточность этих условий.

Следует отметить, что в выражение потенциальной энергии П (х, у, z) можно включить любую добавочную постоянную величину, так как от этого частные производные от потенциальной энергии не изменятся.

Постоянные по величине и направлению силы могут быть отнесены к силам, имеющим потенциал. Так, например, постоянная по величине сила , параллельная оси Оz и совпадающая с ней по направлению, имеет проекцию только на эту ось Z = P, так как ее проекции на оси Ох и Оy равняются нулю. Поэтому и

Потенциальная энергия П в этом случае определяется выражением

Рассмотрим два примера на применение соотношений (72.14) к выяснению вопроса о том, является ли рассматриваемое силовое поле потенциальным.

Сначала рассмотрим двухмерное силовое поле центральной силы, произвольным образом зависящей от расстояния до центра (рис. 164, а).

; ,

где ; ; Тогда

Так как в этом силовом поле — то это поле консервативно.

Теперь рассмотрим двухмерное силовое поле, в котором на находящуюся в нем точку действует сила, перпендикулярная к радиусу-вектору точки. Модуль силы не зависит от положения точки. Пусть силы , образующие поле, ориентированы таким образом, что создают относительно начала координат положительный момент (рис. 164, б).

В этом силовом поле имеем:

, ,

,

Так как в этом случае , то

рассматриваемое силовое поле неконсервативно.

По заданной функции П = (х, у, z) (72.10) легко дать геометрическую характеристику зависимости потенциальной энергии точки от ее положения в пространстве. Геометрическое место точек пространства, в которых потенциальная энергия материальной точки имеет одно и то же значение, определяется из уравнения