Принцип Даламбера

Цель лекции - изложить принцип Даламбера для материальной точки и механической системы

План лекции

3.1 Принцип Даламбера для материальной точки;

3.2 Принцип Даламбера для механической системы.

3.1 Принцип Даламбера сформулирован в 1743 году и первоначально, в отличие от законов Ньютона, был предназначен для изучения движения несвободных механических систем. В настоящее время этот принцип и вытекающий из него метод кинетостатики рассматривают как удобный прием для определения реакций связей и сил взаимодействия, а также для составления дифференциальных уравнений движения механических систем. В соответствии с аксиомами динамики основное уравнение движения материальной точки имеет вид:

, (6.4)

где - равнодействующая активных сил; - равнодействующая реакций связей; - абсолютное ускорение точки.

Уравнение (6.4) можно также записать в виде

Слагаемое (- та) обозначают и называют Даламберовой силой инерции (или просто силой инерции). Основное уравнение динамики материальной' точки при использовании силы инерции принимает следующий вид:

(6.5)

Так как „указанные выше силы образуют систему сходящихся сил, то уравнение (6.5) можно рассматривать как условие равновесия системы сил (). В этом и состоит принцип Даламбера для материальной точки: при движении материальной точки в любой момент времени приложенные к ней активные силы и реакции связей вместе с силой инерции образуют систему сил, эквивалентную нулю, т.е.

~0 (6.6)

В проекциях на оси декартовой системы координат имеем

(6.7)

где ; ; ; в проекциях на оси естественного трехгранника получаем:

(6.8)

где ;

Предоставление основного уравнения динамики материальной точки в виде (6.5) слёдует рассматривать как прием, удобный для решения задач, например для определения сил взаимодействия и реакций связей.

Контрольные задания для СРС – рассмотреть и решить следующую задачу самостоятельно: груз массой т движется по наклонной плоскости с углом наклона ; коэффициент трения груза о плоскость равен . Одинаковы ли дифференциальные уравнения движения груза по этой плоскости йниз и вверх? [1-4] Рассмотреть сложное движение точки с применением понятия силы инерции [1-4]

Тема 7. Общие теоремы динамики точки – 2 часа

Цель лекции – познакомить с мерой действия силы – работой и мощностью; рассмотреть некоторые примеры вычисления работы некоторых сил

План лекции:

1. Элементарная и полная работа силы. Пример. Мощность силы.

2. Работа силы в различных случаях движения твердого тела.

3. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Вычисление кинетической энергии при различных движениях твердого тела

4. Теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки и механической системы. Закон сохранения механической энергии

Краткое содержание лекции

Элементарная работа силы. Элементарная работа силы на элементарном перемещении определяется формулой

, (7.1)

где , - скорость точки приложения силы

Величина скалярная, ее знак определяется знаком функции . Если острый угол, - тупой угол, а для , . Так как , то формулу (1) можно представить в виде:

. (7.2)

Таким образом, элементарная работа силы равна произведению элементарного переемещения на проекцию силы на это перемещение

Мощность. Отношение приращения работы силы к элементарному промежутку времени, за которое оно произошло, называется мощностью:

. (7.7)

Так как , то ..

Таким образом, мощность силы равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения. Единица измерения мощности в системе СИ 1 Ватт .

Работа силы при поступательном движении твердого тела. При поступательном движении твердого тела векторы скоростей, а также элементарные перемещения всех точек тела одинаковы. Тогда элементарная работа силы

. (7.8)

Полная работа силы на каком-либо перемещении будет

Кинетическая энергия материальной точки и системы. Кинетическую энергию материальной точки определяют по формуле:

, (7.9)

где есть скорость точки.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех точек системы:

(7.10)

Кинетическая энергия – положительная скалярная величина. Единицей измерения кинетической энергии в системе СИ является – джоуль (1Дж=1Н∙м).

Кинетическая энергия твердого тела. При поступательном движении твердого тела скорости всех точек одинаковы и равны скорости центра масс, поэтому кинетическая энергия

, (7.11)

где- масса твердого тела.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость его произвольной точки

. (7.12)

Тогда

, (7.13)

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

При плоском движении твердого тела, которое можно рассматривать как совокупность поступательного движения вместе с центром масс С и вращения вокруг подвижной оси CZ с угловой скоростью , кинетическая энергия тела будет определяться формулой:

, (7.14) где момент инерции тела относительно оси OZ.

Теорема об изменении кинетичской энергии материальной точски.

. (7.15)

Эта формула выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.