Оптические явления в полупроводниках

Методические указания к курсу лекций для студентов направления 210100 – Электроника и микроэлектроника

Великий Новгород

УДК 621. 382.2 (075.8) Печатается по решению

ББК РИС НовГУ

Рецензент

доктор технических наук В.В. Гаврушко

Физика твердого тела: методические указания к курсу лекций / Сост. Б.И.Селезнёв; НовГУ им. Ярослава Мудрого. - 2 – ое изд. стереот. – Великий Новгород, 2011. – 68 с.

Методические указания составлены в соответствии с рабо­чей программой курса «Физика твердого тела», читаемого студентам направления 210100 – Электроника и микроэлектроника.

Рассмотрены оптические явления в полупроводниках, опреде­ляющие принципы действия полупроводниковых источников и прием­ников света.

УДК 621. 382.2 (075.8)

ББК

Ó Новгородский государственный

университет, 2011

Ó Селезнёв Б.И., составление, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Основные обозначения:

a – постоянная решетки

a_D –боровский радиус донорного центра

a_Н –боровский радиус атома водорода

a_ex –боровский радиус экситона

– вектор магнитной индукции

с – скорость света в вакууме

D – коэффициент амбиполярной диффузии

Е_с – энергия дна зоны проводимости

Е_v – энергия потолка валентной зоны

Е_g – ширина запрещенной зоны

Е_gx – экситонная ширина запрещенной зоны

Δ Е_D,A – энергия ионизации доноров (акцепторов)

– вектор напряженности электрического поля

е – абсолютная величина заряда электрона

ħ – постоянная Планка, деления на 2π

– вектор плотности тока

– вектор напряженности магнитного поля

– волновой вектор электрона

к – постоянная Больцмана

L – длина амбиполярной диффузии

m₀ – масса изолированного электрона

m_n,p – скалярная эффективная масса электрона (дырки)

m_r – приведенная эффективная масса

n – концентрация свободных электронов; главное квантовое число

N – концентрация примеси

N_D,A – концентрация доноров, акцепторов

N_c – эффективная плотность состояний в зоне проводимости

P – концентрация свободных дырок

p_v – эффективная плотность состояний в валентной зоне

R(ν) – скорость рекомбинации

s – скорость поверхностной рекомбинации

α – коэффициент поглощения

– диэлектрическая проницаемость вакуума, полупроводника

λ – длина волны де Бройля

μ_n,p– дрейфовая подвижность электронов (дырок)

σ – удельная проводимость

τ_n,p– время жизни неравновесных электронов (дырок)

ψ – одноэлектронная волновая функция

ω – круговая частота электромагнитной волны

Ω – собственная частота фононов

1 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

1.1 Энергетическая зонная структура

Под энергетической зонной структурой понимается связь между энергией и импульсом носителей в твердом теле. Кинети­ческая энергия электрона связана с его квазиимпульсом клас­сическим соотношением:

(1.1)

где – эффективная масса электрона (которая может отли­чаться от массы электрона в вакууме).

Из квантовой механики известно следующее соотношение:

(1.2)

где – постоянная Планка;

– волновой вектор.

Если рассматривать кристалл в виде прямоугольной потенциаль­ной ямы с шириной L и с барьером бесконечной высоты, то оказывается, что может принимать дискретные значения

где n – любое целое число (кроме нуля);

L – суммарная длина;

N – элементарных ячеек раз­мером a.

Поэтому a есть наименьшая ширина потенциальной ямы, которую можно себе представить в кристалле.

Следователь­но, если , то есть максимальное (из фи­зически различных) значений k. Этому максимальному значе­нию соответствует край зоны Бриллюэна.

Зона Бриллюэна пред­ставляет собой объем – пространства, содержащий все зна­чения вплоть до , где а зависит от направления. Большим значениям отвечает просто сдвиг системы в следую­щую зону Бриллюэна, которая идентична первой зоне, поэтому можно считать, что система характеризуется волновым вектором .

Кинетическую энергию электрона можно записать в виде:

(1.3)

В кристалле, имеющем форму куба с ребром L и рассмат­риваемом как потенциальная яма, разрешенные значения энергии есть

(1.4)

Хотя Е принимает дискретные значения, поскольку кванто­вые числа n могут быть только целыми, то расстояния между уровнями столь малы (10^-18 эВ для кристалла объемом 1 см), что спектр E можно считать квазинепрерывным.

Зависимость энергии от волнового вектора для одного на­правления в пространстве волновых векторов является параболи­ческой, рисунок 1.1 (параболическая долина).

Рисунок 1.1 – Зависимость энергии от волнового вектора для одномерного случая

Рисунок 1.2 – Зависимость энергии от волнового вектора для

трехмер­ного случая

В трехмерном пространстве волновых векторов поверхности постоянной энергии представляют собой замкнутые оболочки: с увеличением волнового вектора соответствующая энергия растет квадратично (рисунок 1.2).

На рисунке 1.3 приведена зависимость энергии от волнового вектора для полупроводника с прямой структурой зон. Отрицатель­ная кривизна валентной зоны означает, что если бы электроны, находящиеся в ней, могли двигаться (т.е. если бы зона не была заполнена), то они приобретали бы ускорение в направлении, про­тивоположном тому, в каком они двигались бы, находясь в зоне проводимости. Электроны валентной зоны как бы обладают отрица­тельной массой. Для устранения представления об отрицательной эффективной массе таким электронам у потолка зоны приписывает­ся положительный заряд. Эти положительные электроны называют­ся дырками.

Расстояние между ближайшими атомами зависит от направле­ния. По этому форма поверхности постоянной энергии не должна быть в точности сферической. Более того, из-за взаимодействия с ближайшими соседями, со следующими за ними и с соседями бо­лее высокого порядка минимум долины может оказаться не в точ­ке , а в некоторой точке, находящейся на определенном кристаллографическом направлении, например (111) (рисунок 1.4).

Рисунок 1.3 – Зависимость энергии от волнового вектора для системы двух зон с прямыми переходами

Рисунок 1.4 – Зависимость энергии от волнового вектора для полу­проводника, у которого в зоне проводимости имеются минимумы (долины) при и

Из-за свойств симметрии кристалла такое же распределение должно повторяться во всех эквивалентных направ­лениях. Поэтому может быть 4 или 8 долин в направлениях и 3 или 6 долин в направлениях . Меньшие из указанных чисел относятся к тому случаю, когда долины находятся на краю зоны Бриллюэна (при , где a – постоянная решетка) и принадлежат одновременно двум зонам.

1.2 Примеси в полупроводниках

1.2.1 Мелкие водородоподобные примеси

Мелкими называются примеси, для которых расстояния от энергетического уровня залегания примеси до ближайшей к нему зоны мало по сравнению с полушириной запрещенной зоны. Такие уровни возникают, например, в германии и кремнии при введении туда примесей V и III групп периодической системы.

Рассмотрим в качестве примера атом элемента пятой груп­пы, мышьяк, введенный в Ge или Si. Пятый электрон мышья­ка, не принимая участия в образовании ковалентных связей, всту­пает в сравнительно слабое взаимодействие с большим числом атомов полупроводника. Его связь с атомом мышьяка уменьшит­ся, он начнет двигаться по орбите большого радиуса, охватываю­щей большое число атомов основного вещества. Влияние кристал­лической решетки может быть усреднено с помощью статической диэлектрической проницаемости и эффективной массы (приближение эффективной массы).

Собственные значения энергии для мелких водородоподобных примесей даются выражением:

(1.5)

где – постоянная Ридберга, ;

– масса электрона в вакууме;

– главное квантовое число;

– заряд электрона.

По аналогии с атомом водорода вводится понятие энергии ионизации донора:

(1.6)

Для германия . Полагая , получаем из (1.6) , что близко к экспериментальным данным для мелких доноров.

Основное состояние донора , остальные состояния -возбужденные. Таким образом, для мелкого примесного центра можно выделить основное (наинизшее) состояние и систему воз­бужденных состояний по аналогии с атомом водорода.

По аналогии с атомом водорода для примеси вводится поня­тие боровского радиуса, который характеризует орбиту электрона или объем, занимаемый электронным облаком в пространстве. Для атома водорода радиус первой боровской орбиты определяется как

(1.7)

Боровский радиус донора дается выражением:

(1.8)

Согласно (1.8) для германия , где а – постоянная решетки.

Из выражений (1.5), (1.7) и (1.8) следует, что

(1.9)

т.е. чем больше , тем меньше величина боровского радиуса примесного центра .

1.2.2 Глубокие примесные уровни

Примеси, для которых энергия связи носителей заряда, т. е. , велика, образуют глубокие примесные уровни. Энер­гия ионизации для глубоких уровней (например, для уровней ме­ди и золота в германии) сравнима по порядку величины с шириной запрещенной зоны. Для описания состояний электронов, связанных с примесями, образующими глубокие локальные уровни, метод эффективной массы непригоден и нельзя пользоваться такими понятиями, как эффективная масса и диэлектрическая постоянная , т.к. "радиус орбиты" основного состояния значительно меньше, чем для мелких примесей. Возмущающий потенциал является некулоновским и сосре­доточен в пределах центральной ячейки. Поскольку расстояния глубоких уровней от зон проводимости и валентной – одного по­рядка величины, то их нельзя считать принадлежащими одной энергетической зоне, как мелкие уровни и использовать для их описания параметры энергетической зоны (эффективную массу). В случае грубого описания глубоких уровней с помощью приближения эффективной массы, параметр должен быть заменен некото­рой комбинацией эффективных масс носителей заряда зоны прово­димости и валентной зоны, а параметр должен отличаться от истинной диэлектрической постоянной кристалла.

В предельном случае глубоких примесей потенциал атомного остова апроксимируется ямой, описываемой дельта – функцией, при­чем глубина ямы подбирается такой, чтобы рассчитанная энергия связи была равна экспериментальной.

1.2.3 Примесные состояния в – пространстве

Примесную волновую функцию можно следующим образом выра­зить в виде суммы блоховских волн, относящихся к основной зоне:

(1.10)

где – волновая функция свободного электрона в невозмущенном кристалле.

Коэффициенты опре­деляются формулой:

(1.11)

где V – объем кристалла.

Благодаря множителю V волновая функция нормирова­на таким образом, что соответствует случаю, когда в объеме кристалла находится одно примесное состояние; величина отсчитывается от экстремума зоны. Из (1.11) видно, что в примесную волновую функцию существенный вклад вносят лишь значения вплоть до величины . Таким образом, чем меньше радиус орбиты электрона в реаль­ном пространстве, тем сильнее примесный центр "размазан" в – пространстве. Для глубоких неводородноподобных примесей волно­вая функция локализована в геометрическом и размазана в – пространстве. Возбужденные состояния примесного центра сильнее локализованы в – пространстве, чем основное.

1.3 Особенности легированных полупроводников

Увеличение концентрации примесей приводит к важным эф­фектам - образованию вблизи разрешенных зон хвостов плотности состояний в пределах запрещенной зоны и примесных зон.

Образование вблизи разрешенных зон хвостов плотности сос­тояний в пределах запрещенной зоны обусловлено следующими причинами. Ионизированный донор притягивает электроны зоны проводимости и отталкивает дырки валентной зоны (акцепторы действуют противоположным образом). Поскольку примеси распре­делены в кристалле хаотически, локальное взаимодействие может быть сильным или слабым в зависимости от числа примесных ато­мов, оказавшихся в данной локальной области кристалла, рисунок 1.5.

Рисунок 1.5 – Искажение краев зон за счет кулоновского взаимо­действия с неоднородно распределенными примесями (а), приводящее к образованию хвостов состояний (б)

Пунктирной кривой показана плотность состояний в отсут­ствие возмущения.

Локальная ширина запрещенной зоны – расстояние между вер­шиной валентной зоны и дном зоны проводимости – всюду остается постоянной. Но в распределении плотности состояний (представля­ющей собой число состояний при данной энергии во всем объеме кристалла) появляются участки энергии ниже дна зоны проводимос­ти и выше потолка валентной зоны.

По мере увеличения концентрации примесей, например донорных атомов, они располагаются все ближе один к другому и их волновые функции начинают все сильнее перекрываться. При этом дискретные уровни донорных электронов образуют зоны, которые расширяются с ростом уровня легирования. Представление о при­месной зоне в наиболее упрощенном виде основано на том, что распределение плотности состояний описывается гауссовой кривой, максимум которой соответствует энергетическому положению исход­ного примесного уровня. При дальнейшем увеличении концентрации примеси примесная зона может стать настолько широкой, что соль­ется с ближайшей разрешенной зоной. После такого слияния для проводимости уже не требуется, как прежде, определенной энергии активации, и температурная зависимость проводимости в таких полупроводниках носит тот же характер, что и в металлах. На рисунке 1.6 приведены зависимости энергии от расстояния между примесными центрами, выраженного в единицах .

Рисунок 1.6 – Результаты расчетов, устанавливающих зависимость энергетического положения примесных уровней от расстоя­ния между атомами примесей

На нижней шкале для наглядности показаны концентрации примеси, рассчитанные при относительной диэлектрической про­ницаемости =16 и эффективной массе . Сверху указаны электронные оболочки, для которых образованные примесные зоны пересекают дно зоны проводимости . Величина определяется из выражения

(1.12)

При и Т = 10К ширина примесной зоны, образованной основным состоянием составляет примерно kT, так что при соответствующей концентрации можно считать, что примес­ная зона уже фактически образовалась.

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1522; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!