Интерполяционные формулы для равноотстоящих узлов

Рассмотрим формулу Ньютона (2.7) и предположим, что узлы являются равноотстоящими, а именно, , где . Сделаем в ней замену и учтя (2.11), получим

(2.13)

Это и есть многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов, а погрешность интерполяции при его использовании оценивается выражением (2.12).

Отметим, что с увеличением порядка значение конечной разности убывает. Поэтому нередко требуемая точность вычисления значения функции достигается при меньшем количестве слагаемых, т.е. при меньшем числе использованных узловых точек. В связи с этим, в зависимости от расположения значения x среди массива значений x₀ , x₁, … x_n на основе (2.7) формируют частные формулы, используемые для интерполяции в начале, конце и середине таблицы. Рассмотрим эти случаи.

Пусть значение x близко к x₀ . Тогда выбирая для интерполяции узловые точки x₀ , x₀ + h, x₀ +m h получим

(2.14),

её погрешность, в соответствии с (2.12)

Пусть теперь значение x близко к x_n, т.е. к концу таблицы. Тогда выбирая для интерполяции узлы x_n, x_n – h,…, x_n –mh и сделав замену из (2.7) получаем

(2.15),

погрешность интерполяции

.

Если значение x близко к некоторому x_k, расположенному в средней части таблицы, то для интерполяции обычно используют точки x_k, x_k + h, x_k –h, …, x_k+mh, x_k-mh Соответствующий интерполяционный многочлен также получается из (2.7) и после замены принимаем

(2.16),

его погрешность оценивается выражением.

.

Интерполяционному многочлену (2.16) можно придать более симметричный вид. Так, разбивая нечётные слагаемые, начиная с третьего, на два, и группируя с чётными, получим

Представим теперь разности в скобках в виде

, и т.д., получим многочлен,

который называется интерполяционным многочленом Ньютона – Стирлинга.

2.9. Сплайн – интерполяция

Одним из недостатков рассмотренных методов является высокая степень интерполяционного многочлена, что не всегда является желательным. Разбиение же исходного отрезка на частичные и построение на них отдельных интерполяционных многочленов приводит к тому, что в точках стыка многочленов производные разрывны. Этого недостатка лишены интерполирующие функции, построенные на основе сплайнов.

Рассмотрим методику построения сплайна, основанного на алгебраических многочленах третьей степени, т.е. так называемую, кубическую сплайн – интерполяцию.

Как и ранее, считаем заданной таблицу значений функции в точках a=x₀ , x₁, x₂ , …, x_n = b. На каждом из отрезков [ x_i-1, x _i ] многочлен P_i(x) будем искать в виде

Таким образом, общее число многочленов равно n, а число неизвестных коэффициентов,- 4n. Поэтому для их определения необходимо такое же количество условий.

Потребуем, чтобы каждый многочлен в крайних точках своего отрезка удовлетворял условиям

, , ,

что даёт 2n соотношений. Далее, потребуем, чтобы во внутренних узловых точках первая и вторая производные интерполирующей функции были непрерывными, т.е.

, , .

Это даёт ещё 2(n-1) ограничений. Для получения двух недостающих можно дополнительно потребовать, что в крайних точках отрезка интерполирующая функция имела нулевую кривизну, т.е.,

,

Таким образом, для определения коэффициентов многочленов имеем систему уравнений.

,

которая оказывается линейной. В том случае, когда узловые точки являются равноотстоящими, т.е. , она существенно упрощается и принимает вид

.

В частности, для трёх равноотстоящих узлов, т.е. n=2, имеем

которая легко решается в общем виде. Действительно, из 1-го, 2-го, 5-го и 6-го уравнений следует , , и , а оставшаяся часть после традиционных преобразований приводится к треугольному виду

.

Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1794; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!