Статистическая и геометрическая вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение вероятности не применимо.

Наиболее слабая сторона классического определения вероятности состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными.

В качестве статической вероятности принимаем относительную частоту или число близкое к ней. Например, если в результате большого числа испытаний оказалось, что относительная частота приблизительно равна 0,3. то это число можно принять за статистическую вероятность. Свойства классической вероятности сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведённом примере в качестве вероятности события можно принять не только 0,3, но и 0,32; 0,29 и т.д.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно не применимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности.

Геометрическая вероятность – это вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Например: Пусть отрезок l составляет часть отрезка L, на отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает, что поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L. Вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L.

.

5 Вероятность сложных событий. Противоположные события. Условная вероятность

5.1 Алгебра случайных событий

Пусть - произвольное не пустое множество. Всякий элемент этого множества () условимся называть элементарным исходом, а само множество - множеством элементарных исходов.

Далее нас будут интересовать подмножества множества - возможно, не все, а лишь некоторые – А,В,С,…, которые мы назовём случайными событиями (или просто: событиями) и объединим в один класс , потребовав, чтобы этот класс удовлетворял следующим аксиомам:

. В класс в качестве подмножества множества входит само множество : .

Случайное событие называется достоверным событием.

. Если события А и В входят в класс , то в него входят также их объединение и пересечение :

В связи с этим говорят, что класс замкнут относительно конечных сумм и произведений, входящих в него случайных событий.

. Если , то и : .

При этом случайное событие называется событием, противоположным событию А.

Всякий класс , составленный из подмножеств непустого множества и удовлетворяющий аксиомам , называется алгеброй множеств. Таким образом, приведённые три аксиомы и соглашение рассматривать подмножества множества как случайные события определяют алгебру случайных событий.

5.2 Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором выстреле, или в обоих выстрелах.

Пусть события А и В – несовместные, причём вероятности этих событий известны.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А):

Вероятность появления синего шара (событие В):

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

.

Пример 2. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

Решение: Обозначим: событие А – «из 2 деталей, 1 стандартная»; событие В – «из 2 деталей, 2 стандартных».

Составим схему для события А (см. рис. 2).

8станд 2нест. 1станд и 1нест.

Рис. 2

Составим схему для события В (см. рис. 3).

8станд 2нест. 2станд и 0нест.

Рис. 3

.

5.3 Противоположные события

Противоположными называется два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через , то другое принято обозначать .

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. Если - попадание, то - промах.

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - противоположные.

Теорема. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Пример 3. Вероятность того, что день будет ясным, р=0,7. Найти вероятность того, что день будет дождливым.

Решение: События «день ясный» и «день дождливый» - противоположные, поэтому искомая вероятность: q=1-р=1-0,7=0,3.

5.4 Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Пример 1. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность:

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Пример 2. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.

Решение: Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), .

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - конусный, т. е. условная вероятность .

По теореме умножения, искомая вероятность

.

6 Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса

6.1 Независимые события

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: .

Для независимых событий теорема умножения имеет вид:

, т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» неза­висимы.

Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) - 0,7.

Решение: События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность .

6.2 Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, причем вероятности появления событий известны.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий .

.

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий:

.

Пример 1. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трёх орудий таковы: ; ; . Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение:

Искомая вероятность .

Пример 2. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение: Р=0,4

q=0,6

P(A)=0,9

Найти n -?

Итак стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Пример 3. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в 3 испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании.

Решение: Р(А)=0,936

n=3

Найти р -?

Искомая вероятность р=1-q=1-0,4=0,6.

6.3 Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности , , …, события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: .

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Решение: Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна».

Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие ), либо из второго (событие ).

Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, .

Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, .

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, .

Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, .

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна

.

6.4 Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Условная вероятность любой гипотезы (i=1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле

Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.).

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролёру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролёром, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролёр.

Решение: Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:

1) деталь проверил первый контролёр (гипотеза );

2) деталь проверил второй контролёр (гипотеза ).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролёр, найдем по формуле Бейеса: .

По условию задачи имеем:

(вероятность того, что деталь попадает к первому контролёру);

(вероятность того, что деталь попадет ко второму контролёру);

(вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролёром стандартной);

(вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролёром стандартной).

Искомая вероятность .

Как видно, до испытания вероятность гипотезы равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 2715; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!