Независимые события. Теорема умножения для независиых событий

Событие называется независимым от события , если появление события не изменяет вероятности события , т.е. если условная вероятность события равна его безусловной вероятности:

Подставив эту формулу в соотношение , получим

,

отсюда ,

т.е. событие не зависит от события .

Итак, если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события , т.е. свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид

, т.е.

вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. В противном случае события называют зависимыми.

Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие ) равна 0,8, а вторым (событие ) равна 0,7.

Р е ш е н и е. События и независимы, поэтому по теореме умножения

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события попарно независимы, если независимы события и , и , и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события независимы в совокупности, то независимы события и , и , и ; и , и , и .

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. Отсюда следует, что требование независимости в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

…

Доказательство. Рассмотрим три события: Совмещение событий равносильно совмещению событий и , поэтому

.

Так как события независимы в совокупности, то независимы и события и , а также и . По теореме умножения двух независимых событий имеем:

и .