Л 1.Обшие представления о математических моделях в экономике и управлении

Понятие математической модели возникает в реальности, когда некоторые части мирового потока, в которых мы живем и пытаемся направить в нужную для нас сторону, допускают формализацию в виде некоторых математических соотношений- функций, уравнений, неравенств и т.п. Другими словами - математическая модель явления представляет собой вариант географической карты, понимаемой в самом широком смысле. Как и всякая карта, математическая модель является более или менее удачным отражением объекта, имеющего бесконечную сложность. В удачном исполнении она фиксирует существенные стороны и моменты отражаемого явления. Отметим, что математические модели возникают в сравнительно продвинутых областях человеческого знания, так как является моделями достаточно высокого уровня. В настоящее время к таким областям кроме физики, механики и пр. стоит отнести экономику и управление.

Пример 1. Прокладывая маршрут движения из одного пункта в другой на местности с разветвленной сетью дорог, мы пытаемся найти самый краткий, либо самый быстрый маршрут, если общее движение по сети весьма интенсивно и различные участки дорог имеют существенно различные пропускные способности.

Пример 2. Создавая инвестиционный портфель, мы пытаемся распределить имеющиеся средства так, чтобы, с одной стороны, максимизировать среднюю прибыль, а с другой, – минимизировать риск.

Пример 3. Страхуя гражданскую ответственность автомобилиста, мы пытаемся представить существующий поток аварий во времени, стоимость ущербов, подлежащих компенсации, и поведение застрахованного после заключения договора, для установления размера страховой премии.

В приведенных примерах могут присутствовать оптимизационные задачи в рамках определенных математических моделей. Так, в примере 1 в роли математической модели выступает схема-карта дорог данной местности с указанием расстояний между соседними пунктами, пропускными способностями участков дорог и интенсивностями движения в интересующие нас моменты времени. В примере 2 математической моделью могут служить соответствующим образом представленная статистика доходностей по каждому из используемых активов и, возможно, некоторые прогнозы. В примере 3, также как и в предыдущем примере, основную роль в создании математической модели играет статистика аварий и их последствий.

Подводя итог сказанному, мы можем отметить, что математ Подводя итог сказанному, мы можем отметить, что математическая модель явления представляет собой набор математических соотношений, отражающих существенные стороны наблюдаемого явления. Практически в каждой модели могут возникать различные оптимизационные задачи.

Принято классифицировать математические модели на статические, отражающие мгновенное или типичное состояние объекта, и динамические, дающие представление об эволюции явления во времени или пространстве. Другим принципом классификации служит наличие или отсутствие случайности в изученном явлении. Соответственно говорят о стохастических и детерминистических моделях.

Отметим, что границы между введенными классами математических моделей не всегда четко определены. Так, в примере 1 может появляться как детерминистическая, так и стохастическая модели. В примере 3 более или менее реалистическая модель обязана быть стохастической.

Значительное количество математических моделей в экономике и управлении представляют не только академический интерес, но и используются для принятия разумных решений. В этих случаях в рамках модели выделяется одна или несколько функций цели, зависящих от управляемых переменных, выбор которых находится во власти лица, принимающего решение. Эти переменные обычно удовлетворяют некоторым ограничениям, которые создают область D допустимых значений управляемых переменных. Если имеются несколько независимых управляемых переменных , тогда удобно объявлять их координатами управляемого вектора

В этом случае область допустимых значений D содержится в пространстве

.

Пример 4. Пусть в условиях примера 3 средняя доходность двух активов составляет соответственно % и , тогда портфель инвестиций в эти два актива, содержащий долю первого актива и долю второго актива имеет среднюю доходность

.

Здесь функция может служить функцией цели, зависящей от управляемой переменной , допустимые значения которой образуют область

Теперь, в рамках этой модели лицо, принимающее решение может пытаться выстраивать оптимальный портфель инвестиций, максимизируя доходность. Для этого ему необходимо решить оптимизационную задачу

Эта задача имеет очевидное решение

Более сложная модель этого примера должна содержать функцию, измеряющую риск портфеля. Эта функция может быть построена на основе статистики прошлых доходностей с возможным учетом прогноза.

Подобные модели относятся к кругу моделей математического программирования. В каждой такой модели присутствуют одна или несколько функций цели зависящей от векторной управляемой переменной из области допустимых значений В рамках этой модели можно решать задачу нахождения оптимального в том или ином смысле значения управляемой переменной.

Если в модели присутствует лишь одна функция цели тогда модель называют однокритериальной. Здесь оптимизационная задача имеет идейно простой вид

(1)

и в принципе может быть решена имеющимися средствами анализа, хотя технически это решение может быть достаточно сложным.

Если число функций цели в модели, то ее называют многокритериальной. Здесь анализ существенно сложнее, т.к. оптимальность относительно одной функции цели необязательно совпадает с оптимальностью относительно другой функции цели. Так, к примеру, в модели инвестирования отмечено, что портфель с высокой доходностью обычно связан с высоким риском. С математической точки зрения указанное обстоятельство связано с отсутствием линейного порядка в множестве в отличие от случая и, тем самым, задача (1) в многокритериальном случае теряет смысл.

Существуют по крайней мере три способа сведения многокритериальной задачи к однокритериальной в рамках одной модели.

1.Функции цели сводятся воедино применением некоторой функции φ, зависящей от переменных. Тем самым появляется одна функция цели

Часто в качестве функции берется линейная функция

,

позволяющая приписывать каждой функции некоторый вес .

2.Выделяется одна основная из функций цели, например, Остальные же выводятся в ограничения в форме неравенств Этим область допустимых значений управляемой переменной трансформируется в область, содержащей лишь те точки области в которых выполняются новые ограничения.

3.Третий способ связывают с именем итальянского экономиста Парето. Он основан на понятии доминирования одного вектора над другим. Именно, при фиксированном значении управляемой переменной вектор доминирует вектор , если где неравенство между векторами понимается в смысле отношения частичного порядка, отмеченного выше. На этой основе из области допустимых значений управляемой переменной выделяется ее часть , удовлетворяющая условиям:

а) точки области порождают векторы , не доминирующие друг друга;

б) в совокупности точки области доминируют все векторы, порожденные точками из области .

Полученное множество называется множеством оптимальных по Парето допустимых значений управляемых переменных.

В общем случае, видимо, модели математического программирования не исчерпывают совокупности существующих математических моделей в экономике и управлении.

Пример 5. Рассматривая процедуру принятия группового решения, принимаемого N лицами в условиях неопределенности, когда решение имеет бинарную форму - «да», «нет». Здесь можно строить математические модели, в рамках которых ведется анализ существующих процедур и синтез разумных процедур, удовлетворяющих некоторым требованиям. Так, к примеру, исследуются обычные процедуры голосования.

Далее обратимся к использованию математических моделей в планировании. Как известно, планы бывают краткосрочные,среднесрочные и долгосрочные, что приблизительно соответствует терминам тактика и стратегия. Соответствующие математические модели относятся к разрядам одношаговых,многошаговых и бесконечно-шаговых сообразно горизонту планирования. Так, в примере 2 намечено строительство одношаговой модели, которая будет реализована ниже.

Наконец, отметим, что математическая модель, очевидно, несет в себе больше информации сравнительно с решением некоторой оптимизационной задачи, полученной в рамках этой модели. С другой стороны, сама математическая модель всегда неполна и существенным образом зависит от уровня знаний в одной области. Более того, существуют области человеческой деятельности такие, как вера, художественное творчество и пр., в рамках которых пока не предвидится возможность использования математических моделей. Возможно, что значительная их часть не будет описана математическими закономерностями никогда.

Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 263; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!