Связь между градиентом и производной по направлению

Решение.

Градиент скалярного поля

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

Функции 2-х переменных в замкнутой области

Наибольшее и наименьшее значения

Метод наименьших квадратов

Двух переменных в замкнутой области. Условный экстремум.

Пусть функция z = f (x,y) непрерывна и ограничена в замкнутой области D

и дифференцируема внутри этой области. Из свойств функции следует, она имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения, которые достигаются либо внутри области либо на её границе. Точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения и находятся внутри области являются точками экстремума функции.

1 ). Надо найти стационарные точки и подсчитать значение функции в этих точках.

2). Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f (x,y) на границе области D.

3). Выбрать из всех значений наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² + 2xy – 3y²+y в замкнутой области, заданной неравенствами:

D = y

B 1

D A

0 1 x

Решение. 1. Находим стационарные точки внутри области.

Решаем эту систему, находим стационарную точку (;), так как эта точка не принадлежит рассматриваемой области, то значение функции в ней не учитываем.

2. Исследуем на границах области.

а).Граница ОА, её уравнение y = 0, подставляем это значение в уравнение функции и получаем z = x². Для этой функции находим наибольшее и наименьшее значения на отрезке [ 0,1]. Z’ = 2x = 0 x = 0. z₁ (0,0) = 0; z₂ (1,0)= 1.

б). Граница ОВ, её уравнение x = 0, z = - 3y² +y; z’ = -6y+1 = 0 y =. z₃ (0,) =; z₄ (0,1) = - 2.

в). Граница АВ, её уравнение x+y = 1. y = 1-x, подставляем в функцию

z = x² +2x(1-x) – 3(1 – x)² + (1 – x) = - 4x²+ 7x – 2. Z’ = -8x + 7 = 0 x =.

Z₅ (= 1.

3). Сравниваем все значения функции.

Ответ: Z_наиб. =1. z_наим. = -2.

Задача. Положительное число требуется разбить на 3 неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

Решение. Обозначим эти числа так x, y, - x – y). Исходя из условия, созда-

дим функцию f (x, y) = x y - x – y). Находим наибольшее и наименьшее значения этой функции в области. Так как

y

0 x

, где – б.м.ф.

Подставим в это равенство значения из (1).

(.

Определение. Градиентом скалярного произведения поля в точке Р(x,y,z) называется вектор

grad u = F’_x (x,y,z) i + F’_y (x,y,z) j + F’_z (x,y,z)k или

Пример. Найти градиент функции U = x² + y² – z² в точке Р₀ (2,-1,1).

grad u = 2x + 4y - 2z, подставим координаты точки grad u = 4 - 4 - 2.

Теорема. Проекция вектора на единичный вектор = равна производной функции U по направлению.

(1)

Доказательство. Пусть U = F(x,y,z). Из теории векторов имеем:

п, аналогично п =

F’. ч.т.д.

С другой стороны п. Если вектор и совпадают по направлению, то, тогда =.

Вывод. есть вектор, показывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке, и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

Пример. Найти наибольшую скорость возрастания функции z= x² y – 5y³ в точке (2,1).

Решение. - 15y², в точке, =.

Ответ. Наибольшая скорость возрастания функции в точке равна ед.

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ, ОПРЕДЕЛЁННЫЙ, НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

ЛЕКЦИЯ 1 3. Понятие первообразной и неопределённого интеграла

Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 546; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!