Сила, действующая на цилиндрическую стенку. Закон Архимеда

Рассмотрим участок цилиндрической поверхности abcd (рис.9), расположенной под свободной поверхностью жидкости. Действующую на него силу избыточного гидростатического давления можно определить из условия равновесия объема жидкости abcdaefghe, ограниченного снизу рассматриваемой поверхностью, с боков – вертикальными плоскостями, проектирующими рассматриваемый участок на свободную поверхность, сверху – участком свободной поверхности жидкости. На выделенный объем жидкости действуют силы гидростатического давления со стороны остальной жидкости, реакция рассматриваемого участка цилиндрической поверхности и вес самой жидкости в этом объеме. Давление, действующее на свободную поверхность жидкости, здесь не учитывается, так как в нашу задачу входит определение силы только избыточного давления.

Силы давления, действующие на боковые площадки aehda и bfgcb, а также aefba и ihgji, попарно взаимно уравновешиваются как направленные внутрь выделенного объема и действующие на одинаковые плоские поверхности, расположенные на одинаковой глубине. Учитывая это, в уравнение равновесия рассматриваемого объема () войдут реакция цилиндрической стенки R’, сила избыточного давления, действующая на площадку ijcdi, и вес жидкости G в рассматриваемом объеме.

Уравнение равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси координат можно записать в виде

. (2.11)

Здесь R’_x и R’_y – горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления, с которой участок abcda действует на жидкий объем (реакция стенки). Согласно формуле (2.6), сила, действующая на участок ijcdi равна , где S_z – площадь проекции рассматриваемой цилиндрической поверхности на вертикальную плоскость (S_z=S_ijcdi), а h_Cz – заглубление центра тяжести этой проекции. Вес жидкости в выделенном объеме G=rgV, где V – объем тела abcdaefghe, называемый объемом тела давления.

С учетом всего вышеизложенного, система (2.11) примет вид

.

Интересующая нас сила избыточного давления жидкости на цилиндрическую поверхность равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой стенка давит на жидкость (реакции стенки), т. е.

, .

С учетом этого можно записать выражения для горизонтальной R_x и вертикальной R_y составляющих силы избыточного гидростатического давления

, . (2.12)

Возможен вариант расположения поверхности, отличающийся от изобра-женного на рис.9. Если смоченная водой поверх-ность обращена вниз, как показано на рис.10, то зависимости (2.12) также справедливы, но объем тела давления в этом случае будет ограничен сверху уже не свободной поверхностью, а ее продолжением. При этом вертикальная составляющая R_z будет направлена вверх (объем тела давления считается отрицательным). Возможны и более сложные варианты поверхностей, у которых на разных участках могут быть разные по знаку тела давления.

Полученные в этом разделе выводы и зависимости (2.12) для цилиндрических поверхностей справедливы для поверхностей любой произвольной формы, в том числе для судовых поверхностей.

С помощью понятия о теле давления можно получить закон Архимеда. Пусть в жидкости с плотностью r (рис.11) находится тело произвольной формы abcdafcea, у которого максимальное сечение afcea проектируется на свободную поверхность в виде контура gh.

На верхнюю часть этого тела действует верти-кальная сила избыточного давления, направленная вниз и равная весу жидкости в объеме тела давления afceabchga, то есть R_нижн=rgV_afceabchga.

На нижнюю часть погруженного тела дейст-вует вертикальная сила избыточного гидростати-ческого давления, которая характеризуется телом давления afceadchga и направлена вверх:

R_верхн=-rgV_afceadchga.

Результирующая вертикальная сила, действующая на тело

Отсюда следует формулировка закона Архимеда: результирующая сила гидростатического давления, действующая на погруженное в жидкость тело (сила Архимеда), направлена вертикально вверх и равна весу жидкости в объеме тела: .

Очевидно, что горизонтальная составляющая силы давления, действующей на плавающее тело, в соответствии с формулой для R_x (2.12) равна нулю.

ГЛАВА III

Кинематика жидкости