Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Это уравнения вида:

(1)

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно, производной:

(2)

Простейший случай такого уравнения . Найдем решения:

Дифференциальные уравнения второго порядка имеют бесчисленное множество решений, которые даются формулой , содержащей 2 производные постоянные. Эта совокупность решений называется общим решением дифференциального уравнения.

Частное решение уравнение отыскивается при помощи задания начальных условий:

Геометрический смысл начальных условий:

Помимо точки , через которую должна проходить интегральная кривая, мы задаем еще угловой коэффициент касательной к этой кривой.

Замечание. Так как общее решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных постоянных, то через данную точку проходит бесчисленное множество интегральных кривых, лишь одна из которых имеет заданный угловой коэффициент.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши)

Если функция непрерывна в окрестности значений , то уравнение (2) имеет решение такое, что . Если, кроме того, непрерывны и частные производные , то это решение будет единственным.

Пользуясь теоремой, можно например, сразу сказать, что уравнение имеет единственное решение при начальных условиях .

Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 878; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!