Операции над полиномами

Рассмотрим полином вида P_n(x)=p₁xⁿ+p₂x^n-1+...+p_nx+a_n+1. Соответственно будем обозначать Р - n+1-мерный вектор коэффициентов, Х - массив значений аргумента.

При вычислении значений полинома для элементов массива можно использовать функцию polyval(P,X):

С помощью функции polyvalm(P,X) можно вычислять значения матричного полинома для квадратной матрицы Х:

Умножение полиномов С_m+n(x)=P_m(x) x Q_n(x) выполняется командой C=conv(P,Q) -

Деление полиномов можно реализовать командой [C,R]=deconv(A,B), где С -частное и R - остаток от деления А на В.

Вычисление производных от полинома, произведения и отношения полиномов производится соответственно командами dp=polyder(P), dc=polyder(A,B) и [f,g]=polyder(A,B):

Вычисление корней полинома реализуется функцией roots(P), а построение полинома по его корням - функцией poly(R).

Функция poly(А) обеспечивает построение характеристического полинома |lE-A|=0 (см. проблему собственных значений):

В приложениях, особенно связанных с преобразованием Лапласа при решении дифференциальных уравнений, оперируют с отношениями полиномов и представлениями их в виде простых дробей:

,

где s_k - простые корни полинома Qn(s); если некоторый корень s_j имеет кратность m, то соответствующее слагаемое представляется в виде,

Команда [r,s,f] =residue(P,Q) дает разложение отношения полиномов на простые дроби (в случае близких корней возможна значительная погрешность). В случае кратного корня пользуются функцией rj=resi2(P,Q,sj,m,j), где j -номер вычисляемого коэффициента (по умолчанию j=m); по умолчанию m=1 (простой корень).

Команда [P,Q] =residue(r,s,f) выполняет обратное действие свертки разложения в отношение полиномов.

Выполнив действия

видим, что

В случае кратного корня

видим разложение:

наверх

следующая глава

8. Анализ и обработка данных 8.1. Обработка статистических данных 8.2. Численное дифференцирование 8.3. Аппроксимация и интерполяция 8.4. Численное интегрирование 8.5. Нули и экстремумы функций 8.6. Обыкновенные дифференциальные уравнения 8.1 Обработка статистических данных Никакой анализ статистических данных не может обойтись без предварительной их обработки: max (A), min(A) - поиск экстремальных элементов по столбцам массива А; max(A,B), min(A,B) - формирование массива с элементами, равными экстремальным из соответствующих элементов массивов; max(A,[ ],dim), min(A,[ ],dim) - вектор экстремальных элементов по измерению dim; [C,I]=max(...), [C,I]=min(...) - дополнительно выводится строка индексов экстремальных элементов; median(X), median (X,dim) - медианы массива; mean(X), mean (X,dim) -средние значения; std(X), std(X,flag), std(X,flag,dim) - стандартное отклонение (flag=0 -несмещенная оценка s; flag=1 - смещенная оценка s): ; ; cov(X, Y), cov(X,Y, flag) - ковариация для для массивов Х и Y (каждый столбец - переменная, строка - наблюдение) , f=n или n-1; cov(X), cov(X,flag) - ковариация для столбцов массива Х; corrcoef (X), corrcoef (X,Y) -коэффициенты корреляции: . 8.2. Численное дифференцирование Как известно, численное дифференцирование строится на использовании аппарата конечных разностей и соответствующего многообразия аппроксимаций. Здесь полезны функции: diff(X), diff(X, n), diff(X, n, dim) - вычисление конечных разностей (первых, n-го порядка или по указанному измерению); если Х -массив, берутся разности между столбцами: >> F= [ 0 0.0998 0.1987 0.2955 0.3894 0.4794] >> D=diff(F) D = 0.0998 0.0988 0.0969 0.0939 0.0900 >> D2=diff(F,2)             D2 = -0.0010 -0.0020 -0.0030 -0.0039 Для задач оптимизации градиентными методами полезны функции: gradient(F), gradient(F,h), gradient(F,h1,h2,...) -приближенная оценка градиента функции n переменных с автоматическим выбором шага или с указанным шагом (одинаковым или разным по переменным): >> [x,y]=meshgrid(-2:0.2:2, -2:0.2:2); % выбор сетки узлов >> z=x.*exp(-x.^2-y.^2); % вычисление значений на сетке >> [px,py]=gradient(z,.2,.2); % поиск градиента в узлах сетки >> contour(z), hold on,quiver(px,py), hold off % рис.8.1   Рис.8.1. Рис.8.2.

Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 859; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!