ЧАСТЬ II. Специальная теория относительности

.

Так как , то

. (3.3)

Отсюда следует, что , т.е. движущиеся часы замедляют свой ход.

Таким образом, ни промежутки времени, ни пространственные интервалы не являются инвариантами при преобразованиях Лоренца. Следовательно, теория относительности требует введения вместо трехмерного евклидового пространства нового четырехмерного пространства - времени, которое является псевдоевклидовым. К трем пространственным координатам

добавляют четвертую координату . Можно показать, что при преобразованиях Лоренца элементарный четырехмерный объем будет инвариантом. Действительно,

.

Введем в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве – времени интервал как обобщение обычного пространственного интервала (расстояния) между двумя точками и временного интервала (промежутка времени) между двумя событиями. Квадрат интервала:

. (3.4)

Эта величина инвариантна относительно преобразования Лоренца, т.е.

. (3.5)

Интервал между двумя бесконечно близкими событиями

,

где - скорость движения частицы. В системе отсчета, где частица покоится, и . Введем

(3.6)

- собственное время. Оно также является инвариантом.

Интервалы бывают трех типов.

· Времениподобный интервал - интервал между событиями, для которого .

· Пространственноподобный интервал - интервал между событиями, для которого .

· Нулевой (светоподобный) интервал – интервал между событиями, для которого . Световая скорость – максимальная (предельная) скорость распространения сигналов и условие - просто уравнение распространения световой волны.

Пусть имеют место два события, для которых в системе отсчета К время и . Найдем промежуток времени между этими событиями в системе K'

. (3.7)

В системе K промежуток времени между событиями будет - , расстояние - . Если первое событие причина, а второе – следствие, то порядок следования событий не должен изменится, т.е. и . Тогда из (3.7) следует . С учетом того, что , получим . Это означает, что время прохождения светового сигнала между точками и не превышает временной промежуток между этими событиями. Действительно, предельная скорость передачи информации равна скорости света в вакууме . Если выполняется условие , то такие события не могут быть связаны причинно – следственной связью. Иначе получим из (3.7), что меняется порядок следования событий. Т.е. если в системе К, то в системе K'. Тогда или . Интервал между такими событиями пространственноподобный.

Таким образом, два события, разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть связаны причинно - следственной связью. Если два события, связанные пространственноподобным интервалом, одновременны в системе К, то и они разделены в пространстве.

Для событий, связанных причинно - следственной связью, выполняется условие или . Такие события разделены времениподобным интервалом.

Следовательно, только два события, разделенные времениподобным интервалом, могут быть связаны причинно - следственной связью.

Можно показать, что неодноместные события, связанные времениподобным интервалом, не могут быть одновременными. Положим . Тогда получим .

2.4. Релятивистский закон сложения скоростей. Закон преобразования углов.

Рассмотрим частицу с координатами в момент времени . Ее скорость в системе отсчета К:

.

В системе отсчета К':

.

Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (2.6), получим

=

или

. (4.1)

Аналогично найдем

, (4.2)

. (4.3)

В нерелятивистском случае, когда , получим из (4.1) - (4.3)

(4.4)

т.е. обычный классический закон сложения скоростей. Следует отметить, что классический закон сложения скоростей отвечает обычному правилу сложения векторов в евклидовом пространстве. Релятивистский же закон сложения скоростей в специальной теории относительности совпадает с правилом сложения скоростей в геометрии Лобачевского.

Рассмотрим закон преобразования углов в специальной теории относительности. Пусть частица движется в системе отсчета К со скоростью , под углом к оси . При этом считаем, что . Тогда имеем

(4.5)

Отсюда, с учетом закона сложения скоростей в специальной теории относительности, найдем

. (4.6)

Для случая, когда , отсюда получим

. (4.7)

Если частица – фотон и , то из (4.7) следует формула

, (4.8)

объясняющая явление астрономической аберрации (аберрации света).

Брадлей (Брэдли) в 1728 году заметил, что положение звезды Дракона меняется в течение года. Он понял, что явление аберрации обусловлено движением Земли по орбите и конечностью скорости света. Исходя из ньютоновой корпускулярной теории света, Брадлей дал объяснение этому эффекту. Скорость света относительно Земли , где - скорость Земли относительно Земли. Отсюда получим

. (4.9)

В 1804 году Юнг дал объяснение этому явлению с точки зрения волновой теории, предполагая, что эфир не увлекается Землей. Волны, прошедшие через диафрагму (объектив телескопа) и распространяющиеся в неувлекаемом Землей эфире, попадут левее того места AB, куда бы они пришли в случае неподвижной Земли. При полном увлечении эфира волны попадают на отрезок AB, как и в случае неподвижной относительно эфира Земли.

Объяснение с точки зрения специальной теории относительности простое. Воспользуемся формулой (4.8). Положим угол в неподвижной системе отсчета, связанной со звездой. В системе, связанной с Землей, угол . Тогда получим классическую формулу для аберрации света: или .

В 1851 году был поставлен опыт Физо по определению увлечения эфира движущимися телами. Такое увлечение эфира телами было в виде гипотезы предложено Френелем для объяснения опыта Араго. Так как изменяется показатель преломления тела в зависимости от скорости движения его к источнику света или от него, то изменяется показатель преломления призмы в случае неувлекаемого эфира и, следовательно, угол отклонения луча призмой. Ожидаемое значение угла отклонения луча должно было составить 1'. Также изменяется фокусное расстояние линзы. Однако Араго не получил в своих опытах предсказанного теорией неувлекаемого эфира эффекта.

Френель показал, что для объяснения отрицательного результата опытов Араго необходимо предположить, что эфир частично увлекаем. Если тело движется со скоростью , то с такой же скоростью его обтекает эфир (эфирный ветер). Френель показал, что внутри вещества вследствие частичного увлечения эфира скорость эфирного ветра уменьшается до значения . Разность скоростей , где - френелевский коэффициент увлечения эфира. Так как опыты Араго не обладали достаточной точностью, то Физо поставил опыт по определению коэффициента увлечения эфира. В случае - эфир не увлекается телом, - увлекается полностью, - увлекается частично. Найденный Физо коэффициент совпал в точности с френелевским коэффициентом увлечения . Пусть скорость света в покоящейся среде . Тогда скорость света в движущейся среде в случае неувлекаемого эфира согласно классическому закону сложения скоростей будет . В опыте Физо оказалось, что эта скорость . Это интерпретировалось, как увлечение эфира движущейся средой.

Специальная теория относительности дала другое объяснение опыту Физо. В этом опыте впервые было замечено отклонение от классического закона сложения скоростей. Воспользуемся законом сложения скоростей (4.1). Тогда

. (4.10)

При выводе были отброшены члены первого и более высоких порядков по . Таким образом, опыт Физо является экспериментальным подтверждением формулы сложения скоростей специальной теории относительности.

До создания теории относительности казалось, что опыты по определению эфирного ветра дадут возможность определить скорость движения тела относительно эфира. Можно строго доказать, что вытекающее из формулы Френеля частичное увлечение эфира, автоматически компенсирует в первом порядке по эффект эфирного ветра и делает невозможной задачу определения абсолютного движения в экспериментах первого порядка по . Поэтому необходимы были опыты по определению эфирного ветра во втором порядке по . Такие опыты были поставлены Майкельсоном (1981 год) и им же совместно с Морли (1887 год). В этих опытах также не был обнаружен эфирный ветер, хотя точность эксперимента была таковой, что без труда позволяла бы это сделать. Опыты Майкельсона и Морли показали, что скорость света в вакууме остается постоянной и не зависит от скорости движения источника света и скорости наблюдателя. Различные попытки объяснения отрицательного результата опытов Майкельсона и Морли на основе классических представлений о мировом эфире оказались безуспешными. Только теория относительности, взяв в качестве одного из постулатов принцип постоянства скорости света, была в состоянии объяснить все проводимые в этой области физики эксперименты. Выводы теории относительности хорошо подтверждались в многочисленных экспериментах по ее проверке.

2.5. Элементы тензорной алгебры. Ковариантная запись дифференциального закона сохранения заряда. Законы преобразования плотностей заряда и тока.

Специальная теория относительности установила инвариантность интервала при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, т.е. инвариантность интервала при преобразованиях Лоренца. Впервые Пуанкаре, а затем Минковский показали, что обычное трехмерное пространство и время представляют собой единое четырехмерное пространство – время. О точках такого пространства говорят как о физических событиях. Радиус – вектор любой точки (события) пространства- времени имеет четыре компоненты и его можно записать в виде

, (5.1)

где - трехмерный радиус – вектор. Таким образом, в четырехмерном пространстве введем четыре взаимно ортогональные координатные оси .

Рассмотрим закон преобразования координат при переходе из одной системы отсчета в другую. При этом не ограничиваемся только инерциальными системами отсчета. Закон преобразования координат запишем в виде:

. (5.2)

Это преобразование должно быть не вырожденным, чтобы имело место обратное преобразование

. (5.3)

Следовательно, якобиан преобразования

.

Рассмотрим малое перемещение в четырехмерном пространстве:

. (5.4)

Здесь применено известное правило суммирования Эйнштейна, согласно которому по повторяющимся (немым) индексам производится суммирование. Малое перемещение в четырехмерном пространстве обобщает перемещение в трехмерном пространстве, - контрвариантный вектор в четырехмерном пространстве.

Обобщая правило преобразования четырехмерного вектора перемещения (5.4), введем произвольный четырехмерный контрвариантный вектор , который преобразуется при заданном законе преобразования координат (5.2) по следующему правилу

, (5.5)

где .

Пусть - произвольная скалярная функция. Тогда

.

Введем - ковариантный вектор. Получим правило преобразования ковариантных векторов при переходе из одной системы координат в другую:

. (5.6)

Можно обобщить понятие скаляра на четырехмерное пространство:

.

В частности, четырехмерный интервал

, (5.7)

есть пример четырехмерной скалярной функции. Здесь - ковариантный метрический тензор в произвольных координатах. Такая запись интервала обобщает вид интервала в декартовых координатах инерциальной системы отсчета

, (5.8)

для которых метрический тензор

имеет диагональный вид. Согласно (5.7) в произвольных координатах имеем .

Найдем закон преобразования метрического тензора при переходе из одной системы координат в другую:

.

Следовательно, получим

. (5.9)

Рассматриваемый метрический тензор – ковариантный тензор второго ранга.

Для матрицы построим обратную матрицу , которая удовлетворяет условию . Матрица определяет контрвариантный метрический тензор второго ранга. Найдем закон преобразования для этого тензора:

,

где

.

Тогда

. (5.10)

Можно ввести контрвариантный тензор произвольного ранга , который удовлетворяет следующему закону преобразования при переходе из одной системы координат в другую:

. (5.11)

Аналогично введем ковариантный тензор ранга

. (5.12)

С помощью метрического тензора можно опускать и поднимать индексы у тензоров. Например:

.

В инерциальной системе отсчета метрический тензор

.

Действительно, так как

и ,

то при , при и .

Введем ковариантный вектор перемещения . Если определить скалярное произведение векторов следующим образом: , то

.

Запись физических выражений в четырехмерном тензорном виде называют ковариантной записью физических уравнений. При такой форме записи вид выражений не меняется при преобразованиях Лоренца. Следовательно, законы физики должны быть записаны в ковариантном виде.

Вначале рассмотрим закон сохранения заряда

и перепишем его в ковариантной форме. Введем . Тогда

, .

Введем . Если ввести четырехмерный вектор тока , то закон сохранения заряда может быть записан в ковариантной форме

. (5.13)

Найдем закон преобразования четырехмерного вектора тока

. (5.14)

Воспользуемся преобразованиями Лоренца

или

где , . Отсюда следует, что

. (5.15)

Положив в (5.14) , получим

или

. (5.16)

Взяв , получим:

. (5.17)

При : .

Таким образом, преобразования четырехмерного тока :

(5.18)

Обратное преобразование

(5.19)

Пусть заряды покоятся в инерциальной системе отсчета К', т.е. , , . Тогда

.

Воспользуемся законом преобразования объема и найдем, как преобразуется заряд в объеме . Получим

= = .

Это означает, что заряд любого элемента объема есть инвариант при преобразованиях Лоренца, т.е. при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.

2.6. Ковариантная запись условия Лоренца и уравнений для потенциала. Закон преобразования потенциалов.

Перепишем условие Лоренца

в виде

.

Введем четырехмерный контравариантный вектор потенциала , где , , , . Ковариантный вектор потенциала . При этом условие Лоренца в ковариантном виде

. (6.1)

Закон преобразования потенциалов

(6.2)

запишем в виде

(6.3)

Уравнение для потенциалов

, , (6.4)

где оператор Даламбера

или

= =. (6.5)

Тогда уравнения для потенциалов (6.4) перепишем в виде

(6.6)

или

. (6.7)

2.7. Тензор электромагнитного поля. Ковариантная запись уравнений Максвелла для полей в вакууме.

Уравнения Максвелла также могут быть записаны в ковариантном виде. Для этого введем тензор электромагнитного поля. Напряженности электромагнитного поля

7.1)

перепишем в координатном виде

(7.2)

Введем координаты четырехмерного пространства и четырехмерный ковариантный вектор потенциала . Тогда соотношения (7.2) примут вид

(7.3)

Рассмотрим тензор

, (7.4)

который называют тензором электромагнитного поля. Он является ковариантным, антисимметричным тензором второго ранга, т.е. для него выполняются следующие соотношения:

.

Запишем тензор (7.4) в виде:

. (7.5)

Контрвариантный тензор электромагнитного поля

. (7.6)

Запишем уравнения Максвелла в ковариантном виде, воспользовавшись введенным тензором электромагнитного поля. Рассмотрим уравнения Максвелла

(7.7)

Уравнение перепишем в виде:

, (7.8)

где , . Уравнение преобразуем к виду:

, (7.9)

где , . Например, положив в (7.9) , получим

,

или

.

Следовательно,

.

Таким образом, уравнения (7.8) и (7.9) можно записать в виде

. (7.10)

Преобразуем оставшуюся пару уравнений (7.7). Вначале рассмотрим

.

Получим

или

. (7.11)

Аналогичным образом преобразуем уравнение . В проекции на ось имеем

или

.

Окончательно получим

. (7.12)

Таким образом, оставшуюся пару уравнений можно записать в виде

, (7.13)

где . Введем полностью антисимметричный тензор четвертого ранга . Определим этот тензор следующим образом. Положим ,

. Тензор называют абсолютно антисимметричным тензором Леви – Чевиты. Четное число перестановок индексов дает

элементы этого тензора равные +1, а нечетное число перестановок индексов дает элементы тензора равные -1. Всего ненулевых компонент тензора будет 4!=4·3·2·1=24.

Тогда уравнение (7.13) может быть переписано в виде

. (7.14)

Тензор - тензор третьего ранга, антисимметричный по всем трем индексам , при условии .

Таким образом, в ковариантной форме уравнения Максвелла:

(7.15)

2.8. Законы преобразования напряженностей поля. Инварианты электромагнитного поля.

Запишем закон преобразования тензора электромагнитного поля:

. (8.1)

Здесь

, .

Положим в (8.1) и получим

= ==.

Аналогично можно получить законы преобразования других компонент напряженностей электромагнитного поля. Окончательно имеем

(8.2)

Законы преобразования напряженностей электромагнитного поля можно записать в векторном виде. Рассмотрим параллельные и перпендикулярные к скорости компоненты векторов напряженностей электромагнитного поля, т.е. , и , . Тогда законы преобразования напряженностей (8.2) можно переписать в виде

(8.3)

В нерелятивистском случае эти формулы значительно упрощаются. С точностью до членов порядка получим

(8.4)

Из компонент тензора электромагнитного поля можно образовать следующие инварианты:

a) .

b)

Выражая компоненты тензора электромагнитного поля через компоненты и , можно показать, что эти инварианты имеют вид:

(8.5)

Можно было бы образовать еще один инвариант . Но он тождественно обращается в нуль, т.е. .

Отметим, что первый инвариант истинный скаляр, т.е. он не изменяется как для поворотов в четырехмерном пространстве (преобразования Лоренца), так и относительно пространственных и временных отражений (преобразование инверсии). Второй инвариант псевдоскаляр. Он инвариант только для поворотов (преобразования Лоренца), но не инвариант для отражений.

Из (8.5) следует:

1) Если в какой–нибудь инерциальной системе отсчета , т.е. , то и в другой инерциальной системе отсчета и значит . Можно найти такую инерциальную систему отсчета, в которой либо , если , либо , если .

2) Если в какой – нибудь инерциальной системе отсчета, то они будут нулевыми во всех системах отсчета. Действительно, и во всех инерциальных системах отсчета. Решение системы этих уравнений будет тривиальным: .

3) Если в какой–нибудь инерциальной системе отсчета, то во всех системах отсчета.

4) Если не перпендикулярно в какой – нибудь инерциальной системе отсчета, то можно найти такую систему отсчета, в которой .

2.9. Инвариантность фазы. Законы преобразования частоты и волнового вектора электромагнитной волны. Астрономическая аберрация и эффект Доплера.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну в инерциальной системе отсчета К: