Закон сохранения электрического заряда

Электрический заряд не может быть уничтожен и не может быть создан. При контакте заряженных тел заряды могут только перераспределяться между телами.

Получим математическое выражение закона сохранения электрического заряда. Рассмотрим область пространства V, окруженную замкнутой поверхностью S. Пусть в объеме V находится большое число точечных зарядов q_i. Заменим истинное (дискретное) распределение зарядов непрерывным. Введем плотность заряда:

, -радиус-вектор точки, t- время.

Полный заряд объема V:

.

Для дискретного распределения плотность заряда:

,

где - дельта функция Дирака. Её можно определить следующим образом:

,

.

Дельта функция Дирака не обычная функция, она – представитель широкого класса обобщенных функций. Для неё имеют место следующие соотношения:

,

.

Тогда:

===.

Таким образом, распределение для дискретного распределения вполне обосновано. Для одиночного заряда q плотность , где- точка нахождения заряда.

Движение электрических зарядов в пространстве – электрический ток, характеризуют вектором плотности тока

,

где - бесконечно малый объем в окрестности точки . При непрерывном распределении заряда

,

где - средняя скорость зарядов в окрестности точки .

Рассмотрим элементарную площадку . Тогда переносимый через площадкузаряд за бесконечно малый промежуток времени ∆t будет

=,

.

Выберем . Тогда , т.е. модуль - есть количество заряда, пересекающего за 1с единичную площадку, перпендикулярную .

Полный ток - есть поток вектора через поверхность S. Величину I называют также силой тока.

Закон сохранения заряда можно записать в виде:

.

Если I >0, то заряд в объеме V уменьшается.

Пусть поверхность S покоится. Тогда

.

Воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса для полного тока

=.

Тогда

или

.

В силу произвольности выбора объема V получим

или

.

Последнее выражение называют уравнением непрерывности или законом сохранения заряда в дифференциальной форме.

1.1.3. Закон Кулона.

Установлен Ш. Кулоном в 1785 году, а приоритет открытия закона принадлежит Кавендишу (1771 год). Закон Кулона справедлив для неподвижных точечных зарядов q₁, q₂ :

, где. (1.1)

В гауссовой системе k=1. Размерность заряда = абс.ед.эл.

Напряженность электрического поля уединенного неподвижного заряда Q:

. (1.2)

Здесь q= q₂ - пробный электрический заряд (малый положительный электрический заряд), Q= q₁.Тогда из выражения (1.2) с учетом (1.1) следует:

.

Размерность .

Для системы зарядов напряженность поля

. (1.3)

Соотношение (1.3) есть выражение принципа суперпозиции для напряженности электростатического поля.

Рассчитаем поток вектора через замкнутую поверхность S. Поток через элементарную площадку :

.

Введем телесный угол

,. Пусть -модуль проекции площадки dS на плоскость, перпендикулярную . Тогда

,

где функция сигнум: .

В сферической системе координат, начало которой находится в точке нахождения заряда , имеем

. (1.4)

Знак зависит от того, какая сторона поверхности видна, т.е. определяется .

а) Полный поток, создаваемый зарядом внутри объема :

Если в системе находится большое число зарядов, то согласно принципу суперпозиции имеем , где .

Окончательно получим:

, (1.5)

где - полный заряд, находящийся в объеме .

б) Заряд находится вне объема . Тогда поверхности и видны под одинаковым по абсолютной величине телесным углом , но знаки у телесных углов разные. Таким образом, и

. (1.6)

Полный поток, создаваемый зарядами, находящимися вне объема :

.

В самом общем случае непрерывного распределения зарядов имеем:

. (1.7)

Выражение (1.7) – математическая формулировка электростатической теоремы Гаусса.

Воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса при вычислении первого интеграла в выражении (1.7). Тогда

.

Так как последнее выражение справедливо для любого произвольного объема V, то

. (1.8)

Уравнения (1.7) и (1.8) выполняются для случая неподвижных зарядов и фактически являются другой формой записи закона Кулона. Максвелл предположил справедливость этих уравнений и в случае произвольного движения зарядов, когда , .

Уравнения

, (1.9)

(1.10)

были включены Максвеллом в его систему уравнений для определения электромагнитного поля при заданном законе движения зарядов.

1.1.4. Закон Био - Савара - Лапласа.

Найдем напряженность магнитного поля, создаваемого элементом с током :

. (1.11)

Закон Био - Савара - Лапласа (1.11) – экспериментально установленный закон. Здесь - электродинамическая постоянная. Размерность напряженности магнитного поля = = Э (эрстед). Таким образом,

величины и измеряются в одинаковых единицах. В этом заключается основное преимущество гауссовой системы единиц перед системой СИ. Действительно, величины и являются характеристиками единого электромагнитного поля и поэтому естественно, что единицы измерения этих величин должны быть одинаковыми. Ток I в выражении (1.11) считаем постоянным, т.е. или . Так как S –произвольно выбранная поверхность, то и, следовательно, . В случае постоянного тока плотность заряда в точке не меняется из-за того, что плотность тока не зависит от времени. Таким образом, имеем , , т.е. распределение заряда – стационарно. Ток также будет стационарным. Из уравнения непрерывности следует, что и . Последнее означает, что поле - соленоидальное и линии тока замкнуты.

Рассмотрим трубку тока (векторную трубку поля ), представляющую собой поверхность, охватывающую линии тока . Назовем линейным током токовую трубку, линейные размеры сечения которой, пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Тогда

и, следовательно,

. (1.12)

Найдем напряженность магнитного поля, создаваемого линейным током. Для этого проинтегрируем выражение (1.12) по объему трубки тока:

. (1.12)

Покажем, что

=.(1.13)

Из (1.12) с учетом (1.13) получим

=. (1.14)

Введем векторный потенциал магнитного поля

. (1.15)

Из (1.14) следует, что . (1.16)

Рассмотрим:

= =.

Легко показать, что . Действительно

==. (1.17)

Учтем, что=. Здесь введены обозначения , .

Тогда

==.

Так как , то из уравнения непрерывности и из условия стационарности получим .

Следовательно

=. (1.18)

Выражение (1.18) справедливо для любой поверхности S, в том числе и для бесконечно удаленной S_∞, на которой . Поэтому .

Тогда

=. (1.19)

Легко показать, что

. (1.20)

Из (1.19) с учетом (1.20) получим

==.

Окончательно получим выражение

=, (1.21)

справедливое для стационарных токов (, ). Его часто называют законом Ампера, что объясняется тем, что именно Ампер впервые установил всеобщую связь между магнитным полем и током.

Так как , то

. (1.22)

Действительно, . Таким образом, магнитное полеявляется соленоидальным.

Рассчитаем циркуляцию вектора по замкнутому контуру , который охватывает линии тока . На контур «натянута» поверхность . Циркуляциювектора по замкнутому контуру называют магнитодвижущей силой. Воспользуемся теоремой Стокса:

=,

или

=. (1.23)

Формула (1.23) выражает закон Ампера в интегральной форме. Часто этот закон называют законом полного тока.

Закон Ампера справедлив для стационарного случая, т.е.

=.

Для нестационарного случая, когда и , можно показать, что закон Ампера в виде

= (1.24)

не выполняется. Он противоречит закону сохранения заряда в дифференциальной форме.

Действительно, из уравнения непрерывности:

в стационарном случае следует . С учетом закона Ампера получим

.

В нестационарном случае

.

Если был бы справедлив закон Ампера в виде (1.24), то

=или .

Таким образом, в нестационарном случае следует изменить вид уравнения (1.24) так, чтобы оно не противоречило закону сохранения заряда, являющегося одним из фундаментальных законов природы.

Обобщение закона Ампера на нестационарный случай было сделано Максвеллом. Для этого в уравнение (1.24) он добавил произвольную векторную функцию . Тогда

=+. (1.25)

Найдем

==

или, с учетом уравнения непрерывности , получим

. (1.26)

Из уравнений и (1.26) следует:

. (1.27)

Тогда

=,

где - произвольный вектор. Максвелл предположил, что .

Окончательно, получим обобщенный закон Ампера в виде

=+. (1.28)

Это второе векторное уравнение из системы уравнений Максвелла. Оно обобщает закон Ампера и, в конечном счете, является обобщением опытного закона Био-Савара–Лапласа.

В интегральной форме уравнение (1.28) может быть записано в виде

. (1.29)

Максвелл ввел вектор

(1.30)

и назвал его током смещения. Введение тока смещения в систему уравнений Максвелла приводит к наличию волнового решения этой системы. Электромагнитные волны, предсказанные Максвеллом, впервые были экспериментально обнаружены Герцом.

1.1.5. Закон электромагнитной индукции Фарадея.

Опытами Фарадея было установлено, что изменение магнитного потока (потока вектора ) через любую поверхность S, ограниченную проводящим контуром L, сопровождается появлением в этом контуре электродвижущей силы (ЭДС). Математическая форма закона электромагнитной индукции Фарадея с учетом правила Ленца:

, (1.31)

где . Электродвижущая сила ε представляет собой работу, совершаемую электрическим полем по перемещению положительного единичного заряда вдоль замкнутого контура L, т.е.

. (1.32)

Тогда из выражения (5.1) получим

=. (1.33)

Замена полной производной частной возможна для случая неподвижного контура L.

Воспользуемся теоремой Стокса

или

. (1.34)

В силу произвольности выбора S из (1.34) получим

(1.35)

или в интегральной форме

. (1.36)

Уравнения (1.35) и (1.36) обобщают закон электромагнитной индукции Фарадея на случай, когда металлический контур, в котором Фарадей наблюдал индуцированный изменяющимся магнитным полем электрический ток, отсутствует. Таким образом, смысл этих уравнений заключается в том, что они устанавливают связь между магнитными и электрическими полями в любой точке пространства. Согласно (1.35) изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Уравнения (1.35) и (1.36) также включают в систему уравнений Максвелла.

Согласно физическому смыслу связь между векторными линиями (концентрические окружности) и (прямые) может быть представлена схематически так, как показано на рисунке.

Возьмем дивергенцию от левой и правой части (1.35)

.

Следовательно,

, (1.37)

где - произвольная функция координат. Пусть в начальный момент времени заряды двигались так, что магнитное поле носило стационарный характер. Тогда

.

Поскольку= 0 в начальный момент времени, то будет равно нулю в любой другой момент времени. Этот результат отражает опытный факт отсутствия магнитных зарядов (магнитных монополей).

Из выражения (1.37) следует уравнение

(1.38)

или в интегральной форме

= 0. (1.39)

Уравнения (1.38) и (1.39) - последние из системы уравнений Максвелла.

1.1.6. Движущийся точечный заряд в электромагнитном поле. Сила Лоренца.

Распределение зарядов и характер их движения в пространстве не могут быть заданы произвольно. Очевидно, что электромагнитное поле оказывает существенное воздействие на движущиеся заряды, изменяя их распределение в пространстве.

На заряд, движущийся в электромагнитном поле, действует сила

, (1.40)

где - сила, действующая на заряд со стороны электрической составляющей электромагнитного поля, - сила, действующая на заряд со стороны магнитной составляющей электромагнитного поля.

Для нахождения воспользуемся формулой Ампера

, (1.41)

где - сила, действующая на элемент с током . Воспользуемся соотношением . Тогда

, (1.42)

и плотность силы Ампера

. (1.43)

Сила Ампера определяется формулой

. (1.44)

Рассмотрим одиночный электрический заряд q, движущийся со скоростью . Плотность тока этого заряда

.

Тогда из (1.44) с учетом (1.45) получим

= .

Таким образом, на движущийся электрический заряд со стороны магнитной составляющей электромагнитного поля действует сила

, (1.45)

называемая силой Лоренца. Часто силой Лоренца называют полную силу

, (1.46)

действующую на движущийся заряд со стороны электромагнитного поля.

Уравнения движения системы зарядов в электромагнитном поле:

, (1.47)

где - импульс точечного заряда . Для системы зарядов, находящихся в объеме , введем полный импульс . Затем перейдем от суммирования по частицам к интегрированию по объему

(1.48)

или

. (1.49)

1.1.7. Система уравнений Максвелла-Лоренца.

Запишем систему уравнений, полученных ранее как обобщение опытных законов электромагнетизма. В дифференциальной форме уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное поле при заданных распределениях зарядов и токов, имеют вид:

(1.50)

Отметим, что первое уравнение системы (1.50) обобщает закон электромагнитной индукции Фарадея. Второе уравнение отражает факт отсутствия в природе магнитных зарядов. Третье уравнение является обобщением опытного закона Био- Савара – Лапласа. Четвертое уравнение обобщает закон Кулона.

В интегральной форме система уравнений Максвелла

(1.51)

где - полный заряд, а - полный ток.

Считая заданными функциями и , из системы уравнений Максвелла (1.50) можно однозначно определить шесть неизвестных компонент векторных функций и , которые определяют электромагнитное поле. Всего же в системе уравнений Максвелла (1.50) имеется восемь

скалярных уравнений. Казалось бы, что система этих уравнений - переполнена. Однако, учитывая закон сохранения заряда, можно показать, что второе и четвертое уравнения системы (1.50) есть следствия шести остальных скалярных уравнений.

Рассмотрим третье уравнение из (1.50) и посчитаем

. (1.52)

Из уравнения непрерывности имеем . С учетом этого выражения, из (1.52) получим

,

и

, (1.53)

где - произвольная функция координат. Полагая заряды покоящимися в начальный момент времени, имеем = 0. Но тогда будет равняться нулю и в любой последующий момент времени, т.е. .

Из первого уравнения системы (1.50) следует

. (1.54)

Таким образом,

, (1.55)

где - произвольная функция координат. Аналогично считаем, что в начальный момент времени магнитное поле стационарно и значит = 0. Следовательно, = 0 в любой другой момент времени.

a) Система уравнений Максвелла является полной. Это означает, что при заданных начальных и граничных условиях из шести независимых уравнений Максвелла можно однозначно определить шесть неизвестных скалярных функций , определяющих электромагнитное поле.

b) Система уравнений Максвелла представляет систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому выполняется принцип суперпозиции. Действительно, если - решение уравнений Максвелла при заданных значениях, то является, в силу линейности уравнений, также решением системы уравнений Максвелла при заданных значениях.

Легко увидеть, что система уравнений Максвелла не противоречит закону сохранения заряда в дифференциальной форме

(1.56)

или в интегральной форме

. (1.57)

В общем случае распределение зарядов и токи нельзя задавать произвольно, так как электромагнитное поле определяет характер движения зарядов. Поэтому необходимо дополнить систему уравнений Максвелла уравнениями движения зарядов

, (1.58)

или

. (1.59)

Полную систему уравнений (1.50), (1.56), (1.58) в дифференциальной форме, или (1.51), (1.57), (1.59) в интегральной форме, часто называют системой уравнений Максвелла-Лоренца. Эта система уравнений описывает как электромагнитное поле в вакууме, так и движение электрических зарядов, являющихся единственным источником электромагнитного поля.

Таким образом, имеет смысл говорить об электродинамической системе (электромагнитное поле и электрические заряды), описываемой системой уравнений Максвелла-Лоренца.

1.2. Закон сохранения энергии в микроскопической электродинамике. Плотность энергии. Вектор Пойнтинга.

За единицу времени (1 с) силы электромагнитного поля совершают работу над заряженными частицами, находящимися в объеме , ограниченном поверхностью

, (2.1)

где плотность силы Лоренца

. (2.2)

Тогда

, (2.3)

Так как , то, с учетом , получим

. (2.4)

Из уравнений Максвелла (1.50) следует

,

и поэтому

. (2.5)

В правой части (2.5) добавлено слагаемое

=0,

так как из (1.50) имеем: . Тогда

. (2.6)

Учтем, что

,

.

Из (2.6) получим

, (2.7)

или

. (2.8)

Введем вектор

,

называемый вектором Пойнтинга, и скаляр

- плотность энергии электромагнитного поля.

Из выражения (2.8), применив теорему Остроградского – Гаусса, получим с учетом введенных выше обозначений:

. (2.8)

Распространим интегрирование на все пространство. При этом и стремятся к нулю при быстрее, чем . Отсюда следует, что быстрее, чем . Площадь поверхности при растет как . Таким образом, при .Следовательно,

. (2.9)

Смысл последнего выражения очевиден: работа совершается за счет энергии электромагнитного поля. Поэтому - энергия электромагнитного поля и - плотность энергии.

Если рассматривать электромагнитное поле в конечном объеме, то

. (2.10)

Таким образом, убыль энергии электромагнитного поля в конечном объеме связана с работой в единицу времени над зарядами и потоком

энергии через поверхность . Модуль вектора Пойнтинга имеет смысл плотности потока энергии, т.е. количества электромагнитной энергии, протекающей за единицу времени через единичную площадку. Если в этом объеме отсутствуют электрические заряды, то = 0 и

. (2.11)

Подставим выражения для энергии в (2.11) и применим теорему Остроградского – Гаусса:

. (2.12)

Из-за произвольности выбора объема получим

. (2.13)

Это уравнение - аналог уравнения непрерывности. Поэтому электромагнитную энергию можно рассматривать как некоторую материальную субстанцию, распределенную в пространстве, и способную вытекать из конечной области пространства.

1.3. Потенциалы электромагнитного поля. Калибровочная инвариантность. Уравнения для потенциалов при калибровках Лоренца и Кулона.

Рассмотрим уравнения Максвелла

(I) (II) (3.1)

Из второго уравнения системы (II) следует, что напряженность магнитного поля

, (3.2)

где - векторный потенциал электромагнитного поля. Действительно, . Подставим (3.2) в первое уравнение системы (II)

, (3.3)

или

. (3.4)

Таким образом, поле - потенциальное и значит

, (3.5)

где - скалярный потенциал электромагнитного поля. Согласно (3.2) и (3.5) для описания электромагнитного поля вместо напряженностей и можно рассматривать потенциалы и , тем самым уменьшить число неизвестных скалярных функций с шести до четырех. При такой замене система уравнений (II) выполняется автоматически.

Выбор и при заданных и неоднозначен. Действительно, если положить , где - произвольная функция, то

,

т.е. - также отвечает заданному значению напряженности . Из (3.5) следует

= = .

Сделаем замену или . Тогда получим

.

Таким образом, преобразования

(3.6)

не изменяют заданных напряженностей электромагнитного поля, и .

Такие преобразования называют калибровочными или градиентными преобразованиями. Различные способы выбора потенциалов электромагнитного поля, не изменяющие и , называют калибровками потенциалов. Свойство неизменности (инвариантности) и при различных калибровках называют калибровочной (градиентной) инвариантностью.

Калибровочная инвариантность электромагнитного поля позволяет придать уравнениям для потенциалов наиболее простой вид.

Рассмотрим систему уравнений (I) из (3.1). Из первого уравнения системы следует

= = =

=== .

После несложных преобразований получим

. (3.7)

Из второго уравнения системы (I) получим еще одно уравнение для потенциалов:

или

. (3.8)

С помощью калибровочных преобразований можно упростить уравнения для потенциалов (3.7) и (3.8). Положим

. (3.9)

Выражение (3.9) называют условием Лоренца, а соответствующую калибровку потенциалов - калибровкой Лоренца. Покажем, что действительно существует такая калибровка, при которой выполняется условие (3.9).

При произвольном выборе и имеем

.

Произведем калибровочное преобразование

Получим

. (3.10)

Если подчиняется уравнению Даламбера

,

то выполняется условие Лоренца

.

В случае калибровки Лоренца из (3.7) и(3.8) следует

(3.11)

Эти уравнения эквивалентны исходной системе уравнений Максвелла.

Введем оператор Даламбера

.

Тогда уравнения для потенциалов примут следующий вид:

, . (3.12)

Наряду с лоренцевской калибровкой используется калибровка Кулона, для которой выполняется условие . Уравнения для потенциалов в кулоновской калибровке:

, . (3.13)

Название калибровки «кулоновской» связано с последним уравнением (3.13), так как в случае электростатики из этого уравнения находится потенциал электростатического (кулоновского) поля.

1.4 Стационарные поля в вакууме. Уравнения для потенциалов статических полей. Общее решение Пуассона.

Простейшая задача теории электромагнитного поля – стационарная задача, т.е. такая задача в которой все величины, входящие в уравнения Максвелла, не зависят от времени. Это означает, что .

Система уравнений Максвелла распадается на две несвязанные подсистемы – электрическую и магнитную

(I) (II) (4.1)

· Электростатика.

Рассмотрим случай, когда заряды неподвижны. Тогдаи .

Из системы (II) следует, что и . Следовательно, имеет место тривиальное решение .

Из первого уравнения системы (I) имеем для напряженности электростатического поля и . Окончательно получим для скалярного потенциала уравнение Пуассона:

, (4.2)

которое является основным уравнением электростатики.

Рассмотрим точечный заряд . Симметрия задачи сферическая и поэтому решение уравнения (4.2) также обладает сферической симметрией, т.е. . Тогда

, (4.3)

Окружим заряд сферой радиуса с центром в точке нахождения заряда. Вычислим интеграл

= =.

Окончательно получим:

. (4.4)

Решение уравнения (4.4)

. (4.5)

При положим . Потенциал поля точечного заряда :

, (4.6)

а напряженность поля

. (4.7)

Работа сил электростатического поля по перемещению единичного заряда из точки в точку

не зависит пути . Если при положить , то

. (4.8)

Найдем общее решение уравнения Пуассона (4.2). Пусть задано распределение во всем пространстве. Очевидно, что

.

Воспользуемся также соотношением

.

Тогда

= .

Следовательно,

.

Отсюда

, (4.9)

где - некоторое произвольное решение уравнения Лапласа

. (4.10)

Физический смысл функции заключается в том, что она определяется полем зарядов, не входящих в рассматриваемую систему. Если учесть все заряды во всем пространстве, то необходимо положить .

Таким образом, учтя распределение зарядов во всем пространстве, получим , (4.11)

где интегрирование проводится по всему пространству. Выражение (4.11) – общее решение уравнения Пуассона (4.2).

Если учесть дискретный характер распределения зарядов

,

то потенциал поля

. (4.12)

Последнее соотношение выражает известный принцип суперпозиции для потенциалов.

В случае распределения зарядов в конечной области пространства необходимо для нахождения потенциала поля использовать формулу (4.9). Функция удовлетворяет уравнения Лапласа

,

которое имеет однозначное решение при определенных граничных условиях на поверхности . При этом возможны три типа задач:

1. Задача Дирихле, в которой задается значение на границе .

2. Задача Неймана: Задано на границе значение производной по направлению нормали к поверхности .

3. Смешанная граничная задача: На одной части поверхности задано значение , а на другой ее части .

· Магнитостатика.

Имеется система движущихся зарядов, для которой выполняются условия и . Отсюда следует , т.е. векторное поле - соленоидальное и трубки тока замкнуты.

Пусть заряды совершают финитное движение, т.е. они движутся в конечной области пространства. Покажем, что такое движение имеет стационарный характер.

Известно, что всякое финитное движение представляется либо периодическим, либо квазипериодическим и его можно характеризовать периодом

(или квазипериодом) , который является достаточно большой величиной. Пусть постоянная прибора, которая определяется его временем срабатывания. Если , то прибор среагирует и зафиксирует измеряемую величину. В противном случае, когда