Системы линейных уравнений с квадратной матрицей

Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных:

, (4.2.1)

где A — квадратная матрица, .

Если , то существует обратная матрица и, как известно, в этом случае решение системы представимо в виде , где присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов матрицы . Следовательно, решение системы (4.2.1) можно найти по формулам

.

Таким образом, получаем правило вычисления решения системы (4.2.1) с невырожденной матрицей, называемое формулой Крамера:

.

Заметим, что в силу единственности обратной матрицы единственным является решение системы (4.2.1), поэтому, когда , система (4.2.1) — определенная.

Следствие 4.2.1. Если известно, что система (4.2.1) имеет более одного решения, то , т. е. матрица системы является вырожденной.

Следствие 4.2.2. Если известно, что система (4.2.1) не имеет решения, то матрица системы является вырожденной.

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

. (4.2.2)

Теорема 4.2.1. Для того чтобы система (4.2.2) имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы матрица системы была вырожденной.

Доказательство. Необходимость. Однородная система всегда имеет тривиальное решение . Допустим, что существует ненулевое решение указанной системы. Тогда в силу следствия 4.2.1 матрица системы является вырожденной.

Достаточность. Если , то столбцы линейно зависимы, следовательно, существует их нетривиальная линейная комбинация

.

Коэффициенты этой линейной комбинации определяют решение системы (4.2.2) .

Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 580; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!